Pi

\pi sendo calculado pelo método da exaustão de Arquimedes.
Fonte: Clipartmax

Com as possíveis exceções do 0 (zero) e do 1 (um), nenhum outro número é mais conhecido na matemática do que a constante \pi (pi). Também nenhuma outra tem uma história tão fascinante.

Seu valor é aproximadamente 3,1415926… . Sua história é bem remota e deve ter começado em situações cotidianas. É possível, por exemplo, que povos antigos tenham observado que uma volta da roda de carroça faz a carroça avançar mais ou menos três vezes o valor do diâmetro da roda. É assim que \pi passa a ser definido, como o número de vezes que devemos multiplicar a medida do diâmetro para encontrarmos a medida da circunferência. Matemáticos gostam de uma definição equivalente: \pi é a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo.

Matemáticos egípcios e mesopotâmicos conheciam bem o \pi. No papiro de Rhind, \pi tem o valor aproximado de 3,16045, enquanto os matemáticos da Mesopotâmia usavam o valor 3,125. Depois que estudiosos perceberam sua importância em praticamente todos os campos da matemática, a busca pelo seu valor exato deu início a uma das mais longas tradições científicas, o cálculo preciso de suas casas decimais. E essa luta continua firme e forte: em 29 de janeiro de 2020, Timothy Mullican alegou em seu blog ter batido o recorde mundial, com o cálculo de 50 trilhões (!) de casas decimais.

\pi é um número irracional. Não pode ser escrito como a razão (divisão) de dois números inteiros. Embora a fração 22/7 dê \pi com um boa precisão (3,142857, com as casas decimais se repetindo indefinidamente), sabemos que não existe uma fração que gere todos os seus dígitos, ainda que frações sempre mais próximas possam ser encontradas. \pi também é um número transcendente, ou seja, não é a raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros, como, por exemplo, x^2-5x+6=0. Isso coloca \pi em uma categoria especial de números estranhos e interessantes.

\pi é uma letra grega, o que nos faz supor que foram os gregos os primeiros a utilizá-la para batizar a constante 3,1415926…. Mas esse é um engano comum: foi o matemático galês William Jones (1675 — 1749) que a nomeou assim, em um artigo de 1706. Por que \pi? Porque essa é letra que tem o som de p na língua grega, e a primeira letra da palavra periferia. A história dos símbolos e da notação matemática é tema pitoresco que teremos a oportunidade de abordar ainda outras vezes.

Agora olhe para a figura no início desta postagem. A primeira figura, mais à esquerda, nos mostra uma circunferência na qual está inscrito um pentágono regular e circunscrito outro. Conseguimos calcular o perímetro do pentágono inscrito sabendo apenas o valor do raio da circunferência, assim como também conseguimos calcular o perímetro do pentágono circunscrito sabendo apenas do valor do raio. Mesmo sem os valores em mãos, podemos conjeturar acertadamente que o perímetro do pentágono inscrito é menor do que o perímetro da circunferência, e também que o perímetro do pentágono circunscrito é maior do que o perímetro da circunferência. Assim, o valor do perímetro da circunferência deve ser algum número entre esses dois valores.

Mas ainda é um valor muito ruim. E se aumentássemos o número de lados dos polígonos regulares inscritos e circunscritos para, por exemplo, como nos mostra a figura, para 6 e 8? Não nos parece que esses polígonos estão se transformando, eles mesmos, em uma aproximação da circunferência? Se conseguimos calcular o valor dos perímetros dos polígonos, podemos imaginar que, aumentando o número de lados, conseguiremos aproximar o valor de \pi com quanta casas decimais quisermos. De fato, esse é o mecanismo básico do chamado método de exaustão, utilizado com sucesso por Arquimedes de Siracusa (c. 287 — c. 212 a.C.) e matemáticos posteriores para solucionar uma infinidade de questões semelhantes. Em particular, esse método era usado para realizar quadraturas, o cálculo de áreas de figuras curvilíneas, o que nos informa que o método da exaustão é um dos precursores da moderna integração.

Madhava de Sangamagrama (c. 1350 — c. 1425), o fundador da Escola de Matemática e Astronomia de Kerala, na Índia, é apenas um das centenas de matemáticos hindus frequentemente ignorados por historiadores. Ainda que tenhamos aprendido a reconhecer a genialidade de matemáticos não-europeus, foi apenas há pouco tempo que reconhecemos uma genial descoberta desse genial indiano, a série de Madhava: \frac{\pi}{4} = 1\ -\ \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\ -\ \frac{1}{7} + \frac{1}{9}\ – \ldots Mas o que essa série tem de especial?

O valor de \pi sempre foi relacionado a questões geométricas, em especial àquelas envolvendo circunferências. Mas a fórmula de Madhava não faz nenhuma referência a círculos ou figuras curvilíneas. É uma série infinita, um conjunto infinito de números que, se somados, nos dão 1/4 do valor de \pi. Assim, devemos a Madhava a “libertação” de \pi de suas humildes origens geométricas para adentrar no mundo da análise matemática, da álgebra e da estatística, aparecendo aqui e ali de maneira fantasmagórica e surpreendente. Alguns séculos depois, essa série foi redescoberta pelo matemático alemão G. W. Leibniz (1646 — 1716). Hoje a série é conhecida por historiadores modernos como série de Madhava-Leibniz, ou apenas como série de Leibniz por matemáticos eurocêntricos empedernidos.

Discussão

  1. O cálculo de \pi é um hobby nerd muito apreciado por programadores de computador e por competidores de campeonatos de memorização, capazes de recitar essa constante com centenas e centenas de casas decimais. Você consegue imaginar algum outro motivo que faz com que cientistas ainda se interessem pelo seu cálculo?
  2. Existe uma certa ansiedade de professores em ensinar as origens e o valor de \pi. O peso da quantidade descomunal de conteúdos e da exiguidade do tempo e do interesse dos alunos fazem com que a maioria fracasse e acabe estimulando uma decoreba desenfreada de tudo que trate de matemática. Você conseguiria imaginar uma atividade significativa que ensinasse a importância e as origens de \pi sem apelar para nenhum tipo de memorização?
  3. Alguns matemáticos sugeriram a introdução de uma outra constante, chamada \tau (tau), no vocabulário dos matemáticos, valendo duas vezes o valor de \pi. Assim, entre muitos outros argumentos, a fórmula da circunferência do círculo, C = 2\pi r se tornaria simplesmente C = \tau r, revelando melhor a natureza da relação entre a circunferência e o raio do círculo, que é muito mais utilizado do que seu diâmetro. Pesquise um pouco sobre a \tau e responda: será que o acréscimo dessa constante no vocabulário matemático resolveria algum tipo de problema de ensino?

Para saber mais

Acesse a Wikipedia para conhecer mais sobre

  • número irracional
  • número transcendente
  • método da exaustão
  • quadratura
  • série infinita
  • Madhava de Sangamagrama e a matemática indiana