Cardano, a álgebra e a probabilidade

Página inicial da Ars Magna
Fonte: Wikimedia Commons

Se algo existe que nos faça pensar em não utilizar fontes primárias no ensino de matemática, esse algo é o livro Ars Magna, do médico, matemático, astrólogo e jogador inveterado italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576), um livro moroso e entediante em franco contraste com a vida de seu autor.

Cardano nasceu em 1501 em Pavia, na Itália, e formou-se em medicina em 1525 na Universidade de Pádua. Exerceu a profissão de médico em cidades pequenas até se mudar para Milão, onde obteve licença para ensinar matemática, paixão intelectual que perseguiu até seus últimos dias. Embora tenha escrito cerca de 200 obras sobre medicina, biologia, física, química, astronomia, mecânica, filosofia e até astrologia, foi na matemática que se mostrou mais proficiente e mais fecundo.

Sua obra mais conhecida é a Artis magnae, sive de regulis algebraicis (Da grande arte, ou sobre as regras da álgebra), a que nos referimos simplesmente como Ars Magna. Nela encontramos a primeira publicação de soluções puramente algébricas de equações cúbicas e quárticas, equações polinomiais de graus 3 e 4, respectivamente. Cardano, no entanto, não foi seu descobridor: ele atribui a Scipione del Ferro (1465 – 1526) a solução da cúbica e a seu aluno Ludovico Ferrari (1522 – 1565) a da quártica.

É preciso parar e observar que esse foi um momento muito importante na história da matemática. A solução de equações polinomiais de qualquer grau é uma busca milenar que começou na antiguidade, tendo ocupado gerações e gerações de matemáticos amadores e profissionais. Com Cardano, as equações de graus 1, 2, 3 e 4 foram definitivamente solucionadas. Foi o passo seguinte, a busca da solução da equação de quinto grau, a quíntica, que ocasionou a criação da moderna álgebra abstrata. Niels Abel (1802 – 1829) e Evariste Galois (1811 – 1832) foram os responsáveis por demonstrar, independentemente, que a quíntica só possui soluções para casos particulares, ficando o caso geral ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 sem uma fórmula que o resolva.

Outro fato interessante da história da matemática do período é saber que os números negativos, hoje tão comuns, ainda não eram bem aceitos àquela época. Historicamente ligado às ideias de quantidade e de magnitude, o conceito de número não admitia algo “menor do que o nada”, engano comum entre os estudantes de matemática ainda hoje. Essa proibição cognitiva obrigou Cardano, assim como todos os matemáticos da época, a tratar equações do tipo x^3+ax=b de maneira diferente de equações do tipo x^3=ax+b, o que hoje resolvemos com o mesmo método. No entanto, ele de fato operou formalmente com números negativos e, de maneira desconcertante, também com com números complexos, aqueles que envolviam raízes de números negativos.

Na Ars Magna, Cardano apresenta o seguinte problema: encontre dois números tais que sua soma seja 10 e seu produto seja 40. As respostas são 5+\sqrt{-15} e 5-\sqrt{-15}, que Cardano chamou de “sofísticas”, pois não viu nelas nenhum significado físico. Mesmo assim, Cardano foi adiante, realizou as contas, corajosamente, e viu que as soluções satisfaziam as condições do problema. Apesar do sucesso, declarou que essas respostas seriam tão sutis quanto inúteis. Esta foi a primeira aparição de números complexos em uma obra impressa.

Cardano era um jogador contumaz e um enxadrista talentoso, o que lhe rendeu um bom dinheiro durante sua vida, o suficiente para saldar as múltiplas dívidas que sistematicamente contraía. Como não poderia deixar de ser, escreveu também sobre jogos no Liber de ludo aleae (Livro dos jogos de azar), que contém o primeiro tratamento sistemático da probabilidade, outro grande debate da época. Mas o que torna esse livro impertinentemente delicioso são as muitas técnicas para trapacear em diversos jogos, um brinde de Cardano à vida de apostador que ele adorava viver.

Discussão

  1. Além de cientista, Cardano era também astrólogo, tendo feito inúmeros mapas astrais para os poderosos da época. Sabemos hoje que a astrologia é uma pseudociência sem a mínima chance de voltar a ter o respeito que teve antigamente. Mas ainda é extremamente popular. O que vc pensa disso?
  2. Você consegue imaginar um argumento que justifique tanta energia empregada, durante tanto tempo, para resolver equações polinomiais?
  3. Se um número não é a medida de uma quantidade, então o que ele é?

Para saber mais

  • resolução da cúbica por radicais
  • resolução da quíntica
  • álgebra abstrata
  • números complexos
  • probabilidade

Al-Khwarizmi e a álgebra

Página da Álgebra, de Al-Khwarizmi (c. 780 – c. 850)
Fonte: Wikimedia Commons

Apenas um matemático em toda a história foi capaz de emprestar seu nome a dois importantes conceitos e ter o título de seu principal livro como o nome de toda uma ciência: Abū Jaʿfar Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780 – c. 850). De seu nome, também escrito em português como Alcuarismi, temos as palavras algarismo e algoritmo, e de seu mais importante tratado matemático, o Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (c. 823), temos o nome álgebra. Mas quem foi esse matemático e do que tratava seu livro?

Al-Khwarizmi nasceu por volta de 780 na região de Khwarizm, no atual Uzbequistão. Seu nome é Abu Jafar Muḥammad ibn Musa, e Al-Khwarizmi, apenas o seu gentílico, o nome que indica o local de seu nascimento. Sabemos assim que Al-Khwarizmi era de ascendência persa nascido em uma região sob o domínio árabe.

Pouco mais do que fatos esparsos sabemos de sua vida. Do que temos certeza é que Al-Khwarizmi foi astrônomo e diretor da Bayt al-Hikmah, a Casa da Sabedoria, uma biblioteca e um centro de tradução fundada pelo lendário califa Harun al-Rashid (763/766 – 809) na brilhante Bagdá, capital do Iraque, uma cidade absolutamente central na história das ciências e na preservação da antiga ciência grega, cidade hoje barbarizada e saqueada pelos Estados Unidos e seus aliados nas guerras pelo petróleo.

Em Bagdá, Al-Khwarizmi escreveu sobre astronomia, geografia e cartografia, mas principalmente sobre matemática. Seu livro Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Livro Compêndio sobre Cálculo por Restauração e Balanceamento) foi responsável por estabelecer a álgebra como uma disciplina independente a ser estudada com seus próprios princípios e regras. Ao reduzirmos seu título para Al-Kitāb al-jabr wa-l-muqābala (Livro da Restauração e do Balanceamento) conseguimos ver na palavra central (al-jabr) a origem da nossa palavra álgebra.

Mas o que significam restauração e balanceamento? Em termos modernos, simplesmente as operações usuais de agrupar e transpor os termos nos dois lados de uma equação. Com essas operações, hoje cansativamente conhecidas, Al-Khwarizmi desenvolveu métodos sistemáticos para encontrarmos as raízes de equações lineares e quadráticas. Apresentou também, de forma notável, o método do completamento de quadrados, que nos possibilita resolver equações quadráticas (modernamente chamadas de equações de segundo grau) sem a necessidade de utilizarmos a famigerada fórmula de Bhaskara.

Al-Khwarizmi conhecia bem os algarismos indo-arábicos, tendo até escrito um livro sobre eles. Mas, curiosamente, ele não os utilizou, assim como nenhum outro símbolo, em sua Álgebra, onde até os números eram escritos por extenso. Aparentemente, foi um retrocesso em relação à notação de Diofanto, mas é o conteúdo do livro que nos mostra que ocorreram avanços. O que nos faz pensar sobre a (des)importância dos símbolos no pensamento matemático.

Discussão

  1. Os árabes criaram a Casa da Sabedoria para preservar e traduzir obras científicas e filosóficas de todos os cantos do mundo. Muitas das principais obras da ciência grega existem hoje somente em língua árabe. Mas por que criar um lugar assim?
  2. Observe esse problema que aparece na Álgebra de Al-Khwarizmi: “Você divide dez em duas partes: multiplique uma por si mesma. Essa será igual à outra multiplicada oitenta e uma vezes.” Você é capaz de dizer quais partes são essas?
  3. Al-Khwarizmi não precisou de símbolos especiais para fazer matemática. Será que a matemática precisa mesmo de símbolos diferentes das palavras da linguagem natural?

Para saber mais

  • Casa da Sabedoria
  • raízes de uma equação polinomial
  • equações lineares
  • equações quadráticas
  • completamento de quadrados

Diofanto, a álgebra e a linguagem

Uma página da Aritmética de Diofanto
Fonte: Wikimedia Commons

Isso é grego para mim! Não é assim que falamos quando não entendemos alguma coisa? Agora observe a imagem acima, uma página da Aritmética, de Diofanto de Alexandria (c. 201/215 — 285/299): não só é grego, como também matemática…

Diofanto escreveu sua Aritmética por volta do ano 250. É um livro que trata principalmente das soluções em números inteiros de equações com uma ou mais indeterminadas. Um exemplo bem simples seria a equação 3x – 2y = 1, solucionada quando fazemos, digamos, x = 3 e y = 4, uma entre infinitas soluções. Mas as coisas eram um pouco mais avançadas do que esse simples exemplo sugere.

Observe novamente a imagem no início deste post. Onde estão os números e todo aquele conjuntos de símbolos a que fomos acostumados na escola? Onde estão as equações? Como aquilo pode ser chamado de matemática? Essas questões apontam para discussões ligeiramente diferentes das que estamos acostumados a ver em livros de história da matemática e mesmo aqui neste site. Uma busca pela internet nos oferece muitos comentários sobre a Aritmética de Diofanto, interessantíssima em si mesma, mas tomaremos caminhos laterais para discutir um assunto frequentemente preterido nos manuais técnicos e nos livros didáticos de matemática: a linguagem das ideias matemáticas e de sua cristalização em um conjunto funcional de símbolos.

Não foi Diofanto o primeiro a usar abreviações de palavras ou as próprias palavras como signos com um significado matemático. Os egípcios já faziam isso, e essa tradição estava presente em Alexandria, uma cidade egípcia que se manteve sob o domínio grego por séculos e séculos. Mas o problema é saber por que as palavras comuns do dia a dia não são suficientes para expressar pensamentos matemáticos. E por que todas as culturas, quando tiveram que lidar com conceitos matemáticos, precisaram criar novos símbolos ou adaptar símbolos já existentes?

Veja a tabela a seguir. Ela mostra a notação moderna e a notação de Diofanto. O que é notável é que não conservamos a notação de Diofanto, assim como não conservamos muitas notações criadas durante a história.

É possível que a notação atual seja substituída por outra mais coerente no futuro. Sabemos que a notação matemática é histórica, ou seja, forjada aos trancos e barrancos para lidar com as ideias e conceitos à medida que são criados. Sabemos também que seus símbolos são polissêmicos, tomando vários significados segundo os contextos em que aparecem. As expressões 3 – 2 e \frac{3}{2} contêm os mesmo elementos, mas o traço significa coisas diferentes nas duas. Bastou que os números se posicionassem de forma diferente para o interpretarmos ora como sinal de subtração, ora como de divisão e ora como de razão. Mas o traço em si é o mesmo.

Além desse problema, a notação matemática parece depender da espacialidade, da possibilidade de escrevermos em todas as direções na folha. Também há problemas com a notação das funções, como a inconsistência do uso do expoente 2 nas expressões \cos^2 x e \cos x^2, o que sempre confunde os alunos. Sem dúvida, tradicional não significa melhor.

É possível ver a álgebra simbólica como uma máquina que pode ser manipulada sem que o apelo a um significado seja necessário. A álgebra é o que alimenta a computação moderna, dadas suas regras claras e simples. Por não exigir compreensão, mas apenas manipulação, é a álgebra que acaba figurando como “matemática” na cabeça da maioria dos alunos, que decoram e operam pilhas de regras sem sentido para encontrar o resultado de problemas que não sabem interpretar.

Discussão

  1. Em 1621, o matemático francês Claude Gaspard Bachet de Mériziac (1581 — 1638) editou a Aritmética de Diofanto, em latim e grego. Pierre de Fermat (1601 — 1665), o matemático amador mais celebrado de todos os tempos, possuía um exemplar dessa edição. Conta-se que, em uma de suas leituras, ao lado de um problema algébrico, Fermat escreveu nas margens de sua cópia: “Se um número inteiro n for maior que 2, então a^n + b^n = c^n não terá soluções para inteiros a, b e c diferentes de zero. Tenho uma prova verdadeiramente maravilhosa dessa proposição, mas essa margem é muito estreita para a conter.” Esse é o conhecido Último Teorema de Fermat, demonstrado em 1995 pelo matemático inglês Andrew Wiles. Mas a questão aqui é outra: Fermat lia um livro escrito 1.400 anos antes. Será que o ensino de matemática seria mas bem-sucedido, e os alunos mais criativos, se pudessem ler as obras originais dos matemáticos?
  2. Que outros problemas com a linguagem matemática você consegue identificar? Você chegou a ter problemas com ela?
  3. Até mesmo em aulas de geometria, problemas são frequentemente traduzidos em álgebra e resolvidos mecanicamente, sem nenhum apelo a noções geométricas ou intuições espaciais. Seria a álgebra, pelo seu caráter mecânico e regular, a origem da morte do significado nas aulas de matemática?

Para saber mais

O que significam os termos

  • sinal
  • símbolo
  • polissemia
  • linguagem