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História da matemática

Eratóstenes, seu crivo e a circunferência da Terra

Primos gerados pelo crivo de Eratóstenes
Fonte: tiny.cc/crivo-eratostenes

Eratóstenes de Cirene (276 a.C. — 194 a.C.), assim como Euclides, foi bibliotecário da famosa Biblioteca de Alexandria, onde escreveu sobre matemática, astronomia, geografia e gramática, além de ter exercido seu estro poético na composição de vários poemas. Veremos aqui duas de suas mais conhecidas contribuições científicas.

A primeira trata da criação de um algoritmo para identificar números primos. Números primos são números divisíveis apenas por 1 e por si mesmos. 17 é um número primo, pois você consegue dividir 17 apenas por 1 e pelo próprio 17. Já 18 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Euclides já havia demonstrado, no livro 9 de seus Elementos, que números primos são infinitos, mas uma questão permanecia: como saber se um dado número é primo?

Eratóstenes teve uma ideia bastante engenhosa para determinar quais números de uma lista de inteiros consecutivos são primos. Para acompanhar o raciocínio, sugiro que você faça o experimento prático: escreva uma lista de números começando de 1 até 100. Você pode escrever quantos números quiser, mas a ideia é apenas entender como o algoritmo funciona. Uma lista inicial de 100 números é suficiente.

Inicialmente, risque o número 1. Agora, faça um círculo no 2, o primeiro primo, e risque da lista todos os múltiplos de 2, como 4, 6, 8, 10, 12 e assim por diante, até o fim da lista. Agora faça um círculo no próximo número não riscado, que é o 3, e corte da lista todos seus múltiplos, como 6, 9, 12, 15 e assim por diante, até o fim da lista. Não importa se alguns números já estejam riscados, como o 6 e o 12, pois o importante é riscar todos os múltiplos de 3. Agora, observe o próximo número não riscado, que é o 5, e risque todos seus múltiplos, como 10, 15, 20, 25 e assim por diante, até o fim da lista. Repita esse processo até não haver mais números na lista. O que restará serão todos os números primos entre 1 e 100, exatamente como a figura nos mostra.

O crivo de Eratóstenes foi o primeiro processo sistemático e mecanizado (um algoritmo) para descobrir números primos. Embora não seja muito bom para lidar com números extremamente grandes, ele deu partida na busca de algoritmos mais eficientes que decidam se um determinado número é primo ou não. Esses esforços estão na raiz de nosso mundo tecnológico: é a extrema dificuldade de se saber se um dado número enorme é primo ou não o que garante a segurança das comunicações na internet. Até que matemáticos descubram um algoritmo para resolver o problema em pouco tempo, você pode se sentir tranquilo em entrar o número de seu cartão de crédito em sites respeitáveis — pelo menos até um vírus sorrateiro infectar o seu computador!

Outro grande feito de Eratóstenes foi a medição da circunferência da terra, reconhecidamente redonda por filósofos de gerações anteriores. Muito embora esse fato fosse lugar comum entre os cientistas da época, nenhum deles havia conseguido dizer o quão grande ela era. Coube a Eratóstenes, usando matemática elementar, determinar com bastante precisão sua circunferência.

A história é conhecida. Eratóstenes observou que, ao meio dia de 21 de junho, o sol atinge o ponto mais alto do céu em Alexandria. Observou também que uma estaca fincada no chão produzia uma sombra, e que o ângulo entre a estaca e os raios de sol era de 7,2 graus (aproximadamente 1/50 de uma circunferência). Ele sabia também que em Siena (atual Assuã, no Egito), afastada de Alexandria por cerca de 800 km, a luz do sol não produzia sombras no mesmo dia e à mesma hora, pois era possível vê-lo refletido bem no fundo de um poço. Assim, bastou que ele multiplicasse 50 por 800 para estimar em cerca de 40.000 km a circunferência da Terra. O esquema abaixo pode dar uma ideia do que pensou Eratóstenes.

Esquema imaginado por Eratóstenes.
Fonte: Cosmociência

Sabemos hoje que o valor real da circunferência da Terra, se medido ao redor do equador, é de 40.075 km — uma diferença mínima do valor calculado por Eratóstenes!

Discussão

  1. Números primos estão no coração da matemática, figurando de maneira central no Teorema Fundamental da Aritmética. Esse teorema afirma que todo número inteiro maior ou igual a 2 pode ser escrito de uma única maneira como um produto de números primos, sem considerar a ordem em que aparecem. Por exemplo, 60 pode ser escrito como 2.2.3.5 e, se ignorarmos a ordem desses números, essa é a única maneira como 60 pode ser escrito como uma multiplicação de números primos. Embora pareça elementar, a importância desse resultado nunca é suficientemente ressaltada. Você conseguiria descobrir por que, afinal, esse teorema é tão importante?
  2. Uma famosa conjetura (um teorema ainda não provado) da matemática, chamada de conjetura de Goldbach, diz que todo número par maior ou igual a 4 pode ser escrito como a soma de no máximo dois números primos. Por exemplo, 12 = 5 + 7 e 20 = 7 + 13. Uma excelente maneira de treinar números primos com alunos é fazê-los escrever todos os números pares de 4 a 100 como somas de 2 números primos. Vocês seria capaz de realizar essa tarefa?
  3. Terraplanistas acreditam que a terra não é redonda, apesar de Eratóstenes ter calculado sua circunferência com espantosa precisão há mais de 2.200 anos atrás. Você acha que a introdução desse tópico nas aulas de ciências ajudaria a reduzir o número de terraplanistas em nossa sociedade?

Para saber mais

Procure saber mais sobre os seguintes assuntos:

  • algoritmo
  • número primo
  • Teorema Fundamental da Aritmética
  • conjetura de Goldbach