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Arte fractal

Fractais são objetos matemáticos cuja dimensão fractal excede a sua dimensão topológica. Esta é a definição técnica de fractais, mas… será não que conseguimos entender os fractais de outra maneira?

Fractais são utilizados em quase todos os campos da ciência, modelando fenômenos físicos, (como a dispersão do petróleo em meio poroso), fenômenos biológicos (como a distribuição das veias no corpo humano), fenômenos econômicos (como a trajetória do valor de ações na Bolsa) e também muitas aplicações dentro da própria matemática. Além disso, os fractais podem ser vistos como objetos visuais de grande apelo artístico, e essa é precisamente sua faceta mais popular e atraente.

Em apoio aos iniciantes e principalmente àqueles que pretendem dedicar um pouco de seu tempo à criação dos próprios fractais, traduzi o Manifesto da Arte Fractal abaixo como uma introdução à estética fractal.

Após o manifesto, há uma galeria com imagens reduzidas de alguns fractais que criei. No fim da página, acrescentei links para programas geradores de fractais.

O manifesto da arte fractal

© 1999 Kerry Mitchell

Como gênero, a Arte Fractal existe há aproximadamente 30 anos. A publicação, em 1985, na “Scientific American”, de um artigo sobre o conjunto de Mandelbrot pode ser considerada sua primeira grande aparição pública.

Desde então muitos avanços têm sido feitos, tanto nas possibilidades de renderização fractal, quanto no entendimento da geometria fractal. Talvez agora seja o momento oportuno para definirmos o que é (e o que não é) Arte Fractal.

Arte Fractal é um gênero relacionado aos fractais – formas ou conjuntos caracterizados pela autossemelhança (pequenas partes da imagem são semelhantes à imagem inteira) e por uma infinita quantidade de detalhes, em todas as escalas. Fractais são tipicamente criados em computadores digitais através de um processo numérico iterativo. Ultimamente, imagens que não são tecnicamente fractais, mas que usam a mesma técnica básica de geração e o mesmo ambiente, têm sido bem-vindas no mundo da Arte Fractal.

A Arte Fractal é uma subclasse das artes visuais bidimensionais, e em muitos fatores semelhante à fotografia – outra forma de arte que foi acompanhada de ceticismo em sua origem. Imagens fractais manifestam-se tipicamente como gravuras, levando os artistas fractais para a companhia dos pintores, fotógrafos e gravadores.

Fractais existem nativamente como imagens eletrônicas. Este é um formato que os artistas visuais tradicionais estão rapidamente abraçando, o que os leva para o reino digital da Arte Fractal. Gerar fractais pode ser um desafio artístico, uma busca matemática, ou apenas uma diversão inofensiva. No entanto, a Arte Fractal é claramente distinta de outras atividades digitais pelo que ela é, e pelo que ela não é. Arte Fractal não é:

  • Arte computadorizada, no sentido em que o computador faz todo o trabalho. A obra é feita em um computador, mas apenas sob a direção do artista. Ligue um computador e deixe-o só por uma hora. Quando você voltar, nenhuma arte terá sido gerada.
  • Aleatória, no sentido de estocástica, ou sem regras. Baseada na matemática, a renderização fractal é a quintessência do determinismo. Siga os mesmos passos na geração de uma imagem e os mesmos resultados serão produzidos. Pequenas variações no processo levam em geral a pequenas alterações no produto, o que faz da Arte Fractal uma atividade que pode ser aprendida, e não um processo fortuito de apertar e girar botões.
  • Aleatória, no sentido de imprevisível. A Arte Fractal, como qualquer nova atividade, terá aspectos desconhecido para o novato, mas familiares para o mestre. Através de experiência e da educação, as técnicas da Arte Fractal podem ser aprendidas. Como na pintura ou no xadrez, o essencial é rapidamente dominado, ainda que uma vida inteira seja necessária para um total entendimento e controle. Com o passar do tempo, a alegria de uma descoberta serendíptica é trocada pela alegria da criação autodeterminada.
  • Algo que qualquer um com um computador pode fazer bem. Qualquer um pode pegar uma máquina fotográfica e tirar uma foto. Entretanto, nem todo mundo pode ser uma Annie Leibovitz ou um Sebastião Salgado. Todo mundo pode pegar um pincel e pintar. No entanto, nem todo mundo pode ser um Pablo Picasso ou um Cândido Portinari. De fato, todos os que possuem um computador podem criar imagens fractais, mas nem todo mundo será um mestre na criação de Arte Fractal.

Arte Fractal é:

  • Expressiva. Através das cores de um pintor, do uso da luz e da sombra de um fotógrafo, ou dos movimentos de uma dançarina, artistas aprendem a manifestar e evocar todos os tipos de idéias e expressões. Artistas Fractais são não menos capazes de usar seus meios como uma linguagem expressiva semelhante, pois são equipados com todas as ferramentas essenciais do artista visual tradicional.
  • Criativa. A imagem fractal final deve ser criada como a fotografia ou a pintura. Pode ser criada como uma obra figurativa, uma abstração da forma fractal básica, ou umaobra não-figurativa. O Artista Fractal começa com uma tela em branco e cria uma imagem servindo-se dos mesmos elementos de cor, composição, balanço, etc., usados pelo artista visual tradicional.
  • Requer input, esforço e inteligência. O Artista Fractal deve dirigir a montagem das fórmulas, das transformações, dos esquemas de cores, das paletas e dos parâmetros exigidos. Todo elemento pode e será manipulado, ajustado, alinhado e remanipulado no esforço de encontrar a combinação certa. A liberdade de manipular todas essas facetas de uma imagem fractal traz consigo a obrigação de entender seus empregos e seus efeitos. Esse entendimento requer inteligência e concentração por parte do artista.

Mais do que tudo, Arte Fractal é simplesmente o que criam os Artistas Fractais: ARTE.

Galeria

Visite nossa galeria com alguns fractais que criamos ao longo dos anos.

Links

www.fractalus.com/kerry/
Homepage de Kerry Mitchell. Galerias fractais. The Manifest of the Fractal Art.

Mandelbulber
Gera fractais em 3D. Open source.

Incendia
Excelente gerador de fractais 3D. Donationware.

Ultrafractal
Atualmente o mais poderoso gerador de fractais, com recursos de layers e máscaras. Gera imagens em high-color. Shareware.

ChaosPro
O ChaosPro aceita arquivos do Ultrafractal, Fractint e outros, com vários recursos. Alternativa ao Ultrafractal. Freeware.

Fractint
Clássico programa gerador de fractais. O mais popular entre os artistas fractais. Seu domínio é imprescindível para uma boa compreensão das técnicas e dos elementos fundamentais da arte fractal. Freeware.

Com a exceção do primeiro link, todos os outros remetem para páginas de onde é possível o download dos programas citados. Recomendamos ainda uma busca por “fractal” ou “fractals” no DuckDuckGo para acesso a milhares de links para outros programas, galerias e escritos.

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Arte fractal História da matemática

Bombelli e os números complexos

Fractal criado com números complexos
Fonte: Arquivo pessoal

Há cerca de 500 anos atrás, quando matemáticos ainda se debatiam com números negativos, uma nova classe de números ainda mais estranha surgia: os números complexos. Apesar de realizarem seu début na obra de Cardano, coube a Rafael Bombelli (1526 – 1572) iniciar o primeiro estudo sistemático desses objetos que viriam revolucionar o conceito de número.

Bombelli foi um engenheiro talentoso que viveu em um ambiente intelectual onde as mais avançadas técnicas algébricas estavam facilmente disponíveis. Fazendo bom uso de sua mentalidade prática, escreveu um livro que pode ser lido ainda hoje por leigos e profissionais. Editado no mesmo ano da morte de seu autor, em 1572, essa obra possui o título originalíssimo de… Algebra.

Possuidor da rara virtude de ser claro e acessível, esse livro fez com que Bombelli se tornasse o primeiro europeu a escrever as regras de operação com números inteiros:

Mais vezes mais faz mais.

Menos vezes menos faz mais.

Mais vezes menos faz menos.

Menos vezes mais faz menos.

Mais 8 vezes mais 8 faz mais 64.

Menos 5 vezes menos 6 faz mais 30.

Menos 4 vezes mais 5 faz menos 20.

Além disso, 5 vezes menos 4 produz menos 20.

Da Algebra, de Bombelli

Mais do que pelo seu trabalho com inteiros, Bombelli se destaca na história da matemática por ter sido o primeiro a operar com números complexos, aqueles que envolvem raízes de números negativos, como vistos nesse post.

Bombelli teve a presciência de perceber como os complexos eram essenciais na resolução de cúbicas e quárticas e possivelmente em outros problemas. Ele introduziu a simbologia \sqrt{-1}, que mais tarde viria a ser simplificada para i por L. Euler (1707 – 1783), para dar um perfil manuseável a esses números.

Bombelli sabia que os complexos eram potencialmente problemáticos. Entendia que não eram positivos nem negativos, e também que considerá-los como simples raízes era uma fonte de confusão – o que de fato aconteceu com os matemáticos dos séculos seguintes. Ao chamar a \sqrt{-1} de “mais de menos”, e - \sqrt{-1} de “menos de mais”, Bombelli forneceu as regras formais de operação que usamos ainda hoje, revelando a índole mecânica da álgebra, que não necessita de significados concretos para funcionar perfeitamente. Além disso, os complexos nos mostraram que pensar números como representações de quantidades ou magnitudes é tão falso quanto imaginar que lógica e leis do pensamento são sinônimas.

Os números complexos são absolutamente essenciais na matemática pura e aplicada. Aparecem na solução de diversos tipos de equações diferenciais, presentes na maioria dos modelos que os cientistas criam sobre o mundo. Sem elas, você não estaria lendo este texto na tela de seu computador ou celular. Ao observar a imensa gama de suas aplicações, percebemos que são os bizarros complexos, para os quais temos imensas dificuldades em atribuir um sentido concreto, os mais práticos dos números que conhecemos.

Discussão

  1. O que é um número?
  2. Bombelli conseguiu escrever um livro que era ao mesmo tempo profundo e simples de se ler. Você consegue citar algum outro livro de matemática com essas qualidades?
  3. Fractais, como aquele no início deste texto, são criados com a manipulação computacional de números complexos, e servem como uma das portas de entrada para a reflexão sobre arte e matemática. Por que será que tanta gente vê relações entre esses dois domínios aparentemente tão distantes?

Para saber mais

  • equações diferenciais
  • modelo matemático
  • fractais