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Tag: História da matemática

Plimpton 322

A tabela de argila Plimpton 322 (c. 1.800. a.C.)
Fonte: tiny.cc/plimpton-322

Em 1922, um editor de Nova York de nome George Plimpton comprou de um comerciante displicente, por apenas 10 dólares, uma pequena tabuinha de argila com marcas feitas com algum tipo de estilete. Plimpton viu algum valor histórico na peça mas não soube precisar do que se tratava, e acabou doando a tabuinha à Universidade de Columbia. Foi então que os pesquisadores descobriram um dos mais fascinantes documentos da história da matemática na antiguidade.

A Plimpton 322 faz parte de uma ampla coleção de documentos escritos em argila da antiga civilização mesopotâmica, que floresceu entre os rios Tigre e Eufrates, na região onde hoje se encontra o Iraque. Datada de 1.800 a.C., a Plimpton 322 nos dá um diminuto vislumbre do que foi a matemática mesopotâmica e do grau elevado dos conhecimentos dos povos daquela região. Deles herdamos muitos conhecimentos, mas principalmente a divisão da circunferência em 360 partes e da hora em 60 minutos.

Mas os matemáticos e astrônomos mesopotâmicos sabiam muito mais. A Plimpton 322 é uma lista de ternos pitagóricos, uma sequência de três números que satisfazem o teorema de Pitágoras, como 3, 4 e 5, que formam os lados de um triângulo retângulo. As três primeiras colunas contêm os ternos, em notação sexagesimal, e a quarta mostra apenas os números de 1 a 15, o que mostra que os ternos estavam sendo sistematicamente coletados.

Como sempre, as interpretações sobre o artefato variam. A tabela poderia ter sido escrito para uma aula elementar de álgebra ou de trigonometria ou mesmo como um simples exercício de escrita cuneiforme por algum escriba aprendiz. De qualquer maneira, ficamos com a impressão que aquela tabela não era utilitária, ou seja, suspeitamos que a civilização que a produziu tinha preocupações com o conhecimento desinteressado, desligado de alguma aplicação prática imediata, e com o desenvolvimento do ferramental matemático em si mesmo, por seu próprio valor intelectual.

Como esses números foram gerados? Os matemáticos da Mesopotâmia conheciam as fórmulas que produziam os ternos pitagóricos ou a Plimpton 322 é uma mera compilação de ternos descobertos empiricamente? A tendência é aceitar a primeira hipótese, mas até que nossos estudos sejam realizados e novas descobertas sejam feitas, a questão permanece aberta.

Discussão

O que podemos aprender com a Plimpton 322? Esse número, 322, ligado ao nome Plimpton, nos indica que essa é apenas uma de uma longa série de tabuinhas de argila. Há 321 antes e há centenas depois. A civilização mesopotâmica, criadora de muitos dos mitos que ainda habitam nosso imaginário, conhecidos através dos hebreus que escreveram a Bíblia, certamente legaram muita ciência ao nosso mundo moderno. Algumas reflexões são possíveis:

  1. Uma vez criado um sistema numérico suficientemente complexo, será que ele adquire “vida própria”, sendo cultivado pelo seu valor intrínseco, além de necessidades puramente materiais?
  2. Como seria uma aula de matemática naquele tempo? Estariam esses conhecimentos destinados a figurar apenas nos escritos de uma casta de intelectuais e cientistas ou eram também acessíveis a mais pessoas através de um processo de educação sistemática?

Para saber mais

Alguns termos do texto não foram devidamente definidos. Esses termos são

  • ternos pitagóricos
  • notação sexagesimal
  • escrita cuneiforme

O que será que significam? Como funcionam? A internet pode ser sua amiga nesta hora!

O osso de Ishango

Vistas do osso de Ishango (c. 18.000 a.C.)

O osso de Ishango é um dos mais antigos artefatos “matemáticos” conhecidos. Encontrado em 1960 pelo geólogo belga Jean de Heinzelin (1920-1998) na localidade de Ishango, na atual República Democrática do Congo, esse pequeno osso de babuíno contém três conjuntos de marcas distintas, feitas por algum material cortante com intenções ainda hoje desconhecidas.

Segundo datações recentes, o osso teria entre 18.000 e 22.000 anos de idade, cerca de 10.000 anos mais antigo do que o início da agricultura e dos primeiros núcleos humanos permanentes conhecidos. Como ocorre com todo artefato arqueológico, uma série de especulações é imediatamente criada para dar algum sentido ao objeto encontrado. Partindo de uma visão moderna, nossa primeira interpretação é dizer que o autor das marcas estava “contando” alguma coisa. Mas há quem extrapole essa simples versão e diga muito mais.

A figura acima não nos deixa ver com precisão que são três os conjuntos distintos de marcas. Vamos a uma visão esquemática dos cortes:

Esquema do osso de Ishango
Fonte: tiny.cc/esquema-ishango

Observe algumas características dos três conjuntos de marcas:

  • No primeiro conjuntos, os números somam 48. Cada um dos dois conjuntos seguintes soma 60. Os números 48 e 60 são ambos divisíveis por 12;
  • No primeiro conjunto, encontramos números menores do que 10 e, no segundo, todos os números primos de 10 a 20.
  • No primeiro conjunto, vemos 3 marcas e depois seu dobro, 6; logo depois vemos 4 e seu dobro, 8, e por fim vemos 10 e sua metade, 5.
  • Nos dois últimos conjuntos, encontramos apenas números ímpares.

Seriam essas características suficientes para dizer que a pessoa que fez as marcas estava desenvolvendo algum tipo de pensamento matemático? Ou será que, segundo algumas interpretações, ela estaria contando os ciclos da lua? Se a pessoa que fez as marcas era mulher, estaria ela contando fases de seu ciclo menstrual? Não sabemos. Nenhuma dessas interpretações encontrou guarida definitiva entre arqueólogos e antropólogos.

Existem ossos mais antigos do que esses, como o famoso osso de Lebombo (c. 37.000 a.C.), mas nenhum com características tão marcantes. Até que outros artefatos com a mesma estrutura sejam encontrados, não poderemos dizer com certeza do que o osso de Ishango trata.

Discussão

O problema central da história da matemática é um problema de historiografia, de escrita da história. Como escrever a história da matemática? O que conta como matemática e o que não conta? Quais fatos são relevantes? Seria o osso de Ishango um fato da história da matemática? Afinal, o que é mesmo matemática, para que possamos classificar e historiar todo o material?

Diante disso, o osso de Ishango desperta alguns questionamentos:

  1. Riscos e entalhes em qualquer objeto, se feitos com algum padrão, contam como matemática? Não seriam, talvez, apenas arte?
  2. Seria possível que a pessoa que fez os entalhes no osso estivesse apenas passando tempo? A existência de marcas que vemos como possuindo alguma estrutura que nós chamamos de matemática possa ser obra de uma pessoa que estivesse apenas se divertindo?
  3. Você acredita que a pessoa que entalhou o osso tinha palavras para expressar quantidades?

Para saber mais

Alguns conceitos não foram bem explorados no texto. Deixo pra você procurar saber o que significam:

  • divisibilidade (como dizer que 60 é divisível por 12)
  • número primos

Uma busca na internet pode resolver suas dúvidas. A Wikipedia é sempre um bom começo.

O que fazer com as Proposições para Aguçar os Jovens

Manuscrito carolíngio de 831. Alcuíno está no meio, entre Rábano Mauro e Odgar de Mainz.

As Propositiones ad Acuendos Juvenes (Proposições para Aguçar os Jovens) formam o mais antigo texto de matemática recreativa escrito escrito em latim, atribuído a Alcuíno de York (735-804), o “ministro da cultura” do imperador Carlos Magno (742-814).

Alcuíno foi responsável pela reformulação das escolas durante a era carolíngia, o período que vai de um pouco antes a um pouco depois do reinado de Carlos Magno. Durante sua atuação reformista, Alcuíno compilou e ofereceu ao imperador as famosas Propositiones, que traduzi diretamente do latim e publiquei na revista Brasileira de História da Matemática. Um link para a tradução completa se encontra nessa página.

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