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Minimalismo

Como é de praxe, conhecer a origem da palavra pode lançar alguma luz nos primeiros passo da caminhada, como uma frágil lanterna apontada para uma longa estrada que se trilha pela noite.

Minimalismo vem de minimus, o superlativo da palavra latina parvuspequeno, pouco. Significa, por isso, o que há de mais pequeno, o que há de menor. Em outras palavras, um grau acima do nada.

Por mais poética que seja a definição, há um quê de essencial nela. Minimalismo é um ismo que aponta para um fazer/realizar/viver com o mínimo possível, seja materialmente, seja metodologicamente. Minimalismo, podemos resumir, é uma doutrina que prega a redução radical dos meios para se atingir os fins. É uma aposta no virtuosismo que faz muito com pouco, que realiza bastante com quase nada. É também uma postura econômica, como veremos, e uma tendência que vem se espalhando com outras nomenclaturas pelos quatro cantos da vida digital.

O minimalismo mais conhecido é o das artes visuais. Podemos mesmo dizer que é nas artes que ele tem início. Ou ainda, que tomou consciência de si, dando corpo a uma tendência de ação e pensamento até bastante antiga.

Malevitch – Quadrado branco sobre fundo branco (1915)

A imagem acima, o quadro Quadrado branco sobre fundo branco, do pintor russo Kasimir Malevich (1878-1935), é uma obra emblemática do movimento artístico conhecido como suprematismo, centrado na exploração das capacidades expressivas das formas geométricas básicas, como o círculo e o quadrado, e nas cores primárias azul, vermelho, amarelo, branco e preto.

Também em 1915, Malevich pinta o Quadrado preto sobre fundo branco, quadro que, mesmo sem a presença de sua representação pictórica, pode ser facilmente imaginado… O suprematismo, como um dos movimentos modernistas do início do século 20, é um movimento minimalista. Em verdade, é sua expressão mais sólida: restrição de meios para atingir certos fins. No caso, fins expressivos, como se, em sua pesquisa, o artista procurasse descobrir quais são os fundamentos de sua arte, as verdadeiras raízes da expressão plástica. Wassily Kandinsky (1866-1944) e Piet Mondrian (1872-1944) são outros dois conhecidos artistas que possuem parte de sua obra ditada pelos cânones do minimalismo.

A arte do século XX tomou muitas trilhas, a maioria delas estéreis, mas o minimalismo não foi uma delas. Pelo contrário, é uma postura ou posição conceitual que pode ser encontrada até mesmo em arte figurativa tradicional, como nas obras do artista vietnamita Nguyen Thanh Binh (1954-).

Nguyen Thanh Binh, Bailarina.

A obra de Nguyen Bihn possui também uma característica fundamental do minimalismo visual: o apreço pela cor branca, que ao mesmo tempo representa tanto o nada (a tela intocada), como o tudo  (a mistura de todas as cores).

Contemplando a imagem anterior, percebemos que, além de conteúdo puramente pictórico, o artista nos oferece um momento de delicada sensibilidade ao nos apresentar o torso de uma jovem bailarina em descanso. Notável também é a assinatura vermelha discretamente localizada à direita, no topo. Como percebemos, existem graus de minimalismo, desde a flébil emotividade de Malevich à pureza espiritual de Bihn.

Logo depois das artes gráficas, a escultura é um dos domínios preferidos da expressão minimalista. O artista norte-americano Sol LeWitt (1928-2007) costuma ser apontado como o principal representante do minimalismo escultural.

Sol LeWitt – Cubes

LeWitt, que foi também artista plástico e colaborou em criações arquitetônicas, é preferencialmente denominado um artista conceitual. Sobre ele teremos a oportunidade de falar mais um pouco em nossa segunda postagem, quando abordaremos a motivação matemática do minimalismo.

À mesma época de LeWitt, trabalharam Donal Judd (1928-1994) e Robert Morris (1931-), este que, além de escultor, foi um dos criadores da arte performática. A um passo além da escultura, encontramos o minimalismo em arquitetura, que se expressa também com o predomínio de formas espaciais elementares, como o cubo e o paralelepípedo, a cor branca e a utilização da luz de forma inteligente, tanto para iluminar quanto para decorar.

A Casa Cubo, do arquiteto brasileiro Márcio Kogan (1952-), é um exemplo exemplar da arquitetura minimalista, na qual a imaginação geométrica se expressa através da combinação de elementos estruturais mínimos, em busca de uma beleza austera e funcional.

Márcio Kogan – Casa Cubo

Em Portugal, a arquitetura minimal dos premiados irmãos Manuel e Francisco Aires Mateus representa o que aquele país tem de melhor a oferecer.

Irmãos Aires Mateus – Arquitetura Minimal

O exemplo da arquitetura nos permite acrescentar algumas novas características ao minimalismo: a limpeza, a leveza dos ambientes e a subtração do desnecessário para uma vida simples e focada, tema de que nos ocuparemos em nossa terceira postagem.

Na música, o minimalismo aconteceu mais tarde, ainda que seus princípios já estivessem presentes na música do início do século XX. Foi na década de 1960, nos Estados Unidos, que artistas longevos como Terry Riley (1935-), Steve Reich (1936-) e Philip Glass (1937-) deram início a minimalismo musical. A grande figura, no entanto, foi John Cage (1912-1992), que não pode ser dito, assim como os outros, um artista exclusivamente minimalista, mas experimental de vanguarda.

Animados pelo ideal de buscar o máximo com o mínimo, ou de encontrar a essência da arte musical, as músicas desses artistas nos parecem ruidosas, repetitivas e até mesmo engraçadas. Aos ouvidos do público, músicos minimalistas parecem charlatões, bufões incapazes de criar uma melodia memorável. Nada mais falso, como podemos verificar pelos dois vídeos abaixo, nos quais o balé, tornado minimalista pela música, predomina.

Einstein on the Beach, de Philip Glass, é certamente uma daquelas óperas mais comentadas do que assistidas. Além da música, obsessiva, observe também os passos de dança e a onipresente cor branca.

Steve Reich – Violin Phase

Steve Reich, em sua famosa Violin Phase (1967), em que um tema simples de violino ocasionalmente defasa consigo mesmo, é outra música emblemática do minimalismo musical. As simplicidade dos movimentos repetitivos da bailarina (novamente uma bailarina), o círculo no chão, o branco dominante, também não deixam de saltar à vista.

Também a literatura, como esperado, não fica de fora. Surgida de maneira inconsciente com haikais no Japão, a literatura minimalista é caracterizada pela economia de palavras e faz foco na descrição da superfície das coisas, o aspecto mais tangível aos nossos sentidos, o que ocasiona um distanciamento psicológico do autor daquilo que deseja descrever.

A literatura minimalista apoia-se no contexto sugerido e exige uma participação ativa do leitor. Um escritor como Ernest Hemingway (1899-1961), ao qual costumam ser atribuídos de forma espúria diversos microcontos, figuraria em qualquer lista de escritores minimalistas, ainda que o minimalismo não seja a postura preferencial de Hemingway. Raymond Carver (1938-1988), que não se via de forma alguma como minimalista, costuma ser lembrado com frequência nos círculos de escrita minimal. Os três microcontos seguintes, de autores renomados, podem dar uma ideia do que trata esse veio do minimalismo:

“2 de agosto: a Alemanha declarou guerra à Rússia. Natação à tarde.” – Franz Kafka (1883-1924)

“A velha insônia tossiu três da manhã.” – Dalton Trevisan (1925-)

“Quando acordou o dinossauro ainda estava lá.” – Augusto Monterroso (1921-2003)

Não faz mal notar, mais uma vez, que o microconto é apenas uma forma de minimalismo literário. Restrição vocabular, proibição de frases além de certo tamanho, a descrição com no máximo um adjetivo e outros procedimentos técnicos caracterizam a escrita minimalista, ainda que o livro daí produzido resulte em 1000 páginas. O espírito do minimalismo literário pode ser resumido em uma frase: menos palavras, mais impacto.

Finalizando nossa análise, perguntamos: o que é cinema minimalista? Seriam sucessões de imagens mínimas, com poucos elementos, brancas e geométricas? Não, não é bem assim. O cinema minimalista é executado normalmente por atores e diretores que não se declaram minimalistas, nem sequer se dão conta de que estão criando uma obra de arte minimal.

Steven Spielberg criou uma obra de arte minimal no filme Encurralado (Duel, 1971), em que um sádico motorista de caminhão persegue e tenta enlouquecer, sem nenhum motivo aparente, um inocente vendedor ambulante.

Steven Spielberg – Encurralado

O filme gira ao redor de uma só ação. Embora existam as tradicionais paradas em postos de gasolina, atendentes de bares de beira de estrada, ônibus escolares cheios de crianças, é a perseguição, frenética e obsessiva, no mais amplo e árido deserto, que é o centro da narrativa. Durante todo o filme, perguntamos, insistentemente, por quê? quem é o motorista do caminhão de quem sequer vemos a face? o que o vendedor fez para merecer isso?. Somos frustrados toda vez que nossa credulidade ingênua supõe ter encontrado uma resposta.

O filme, depois entendemos, não é sobre porquês, mas sobre a experiência visceral e autêntica, sem motivo ou razão, de vivenciar o desespero, a angústia e a loucura que vai tomando conta do personagem principal. Cinema minimalista, Spielberg nos ensina, não trata apenas de minimalismo visual, mas também narrativo, em que o diretor, intencionalmente, nos faz abdicar de uma postura padrão gorda e prenhe de expectativas diante da experiência cinematográfica, e nos atrela a, no máximo, uma sensorialidade básica e instintiva.

O diretor Sidney Lumet (1924-2011), já em 1957, nos ofereceu o minimalista e genial 12 homens e uma sentença (12 Angry Men). O filme todo se passa dentro de uma claustrofóbica sala de júri.

Sidney Lumet – 12 homens e uma sentença

Um jovem porto-riquenho é acusado de matar o próprio pai. Doze jurados decidirão seu destino. Onze acham que, dadas todas as massacrantes e aparentemente óbvias evidências, o garoto é indubitavelmente culpado. Apenas um, o Jurado 8 (Henry Fonda, brilhante), discorda da opinião dos outros. Não é difícil de imaginar que o Jurado 8 sofrerá todo tipo de ataque verbal e será vítima de sarcasmos e ironias para defender seu ponto de vista: afinal, não sabemos mesmo se o garoto é culpado. Sozinho, e debaixo de uma chuva de agressões, o Jurado 8 consegue virar a cabeça dos outros jurados, que acabam absolvendo o jovem.

O filme é intelectualmente tão intrigante e absorvente que nos esquecemos que se passa inteiramente dentro de uma saleta. Não percebemos que os doze lá dentro estão vestindo praticamente a mesma roupa (camisas brancas), e que apenas por mais duas outras vezes a câmera se desloca de locação, no início e no final do filme. O minimalismo, aqui, é de outra natureza, e oposto ao minimalismo de Encurralado: muitos personagens em um ambiente limitado, em oposição a poucos personagens em um ambiente ilimitado. No entanto, novamente percebemos a ideia de restrição e limitação de algum elemento do filme, reduzindo-o a um mínimo concebível.

O minimalismo no cinema irá nos brindar com outras obras primas, em que quase não há diálogos, ou quase não há ação, ou quase não há descanso, ou quase não há som, ou quase não há silêncio, ou quase não há alguma coisa que nos parece natural em todos os filmes. As possibilidades do minimalismo cinematográfico são as mais ricas e mais férteis do que todos os outros minimalismo juntos, uma vez que o cinema incorpora e faz uso de todas as artes anteriores.

Avaliação

O minimalismo artístico se caracteriza pela restrição voluntária de um ou mais elementos constitutivos de uma dada forma de arte, e pela utilização daquilo que o artista percebe ser um “bloco de construção” de seu edifício artístico. Nem tudo em uma determinada criação artística é essencial, mas aquilo que é, o é por sua natureza dominante em relação a todos os outros elementos.

Nem sempre restrições sobre o vasto campo das possibilidades artísticas é frutífero. Quando o são, nossa consciência se expande diante de uma reflexão sugerida, talvez imposta, sobre um único e determinado elemento. Frequentemente, a reflexão é mesmo sobre o tempo e o espaço, e como são manipulados pela obra de arte. O minimalismo, assim, é quase que uma instanciação artística da filosofia, a materialização de uma longa meditação.

O minimalismo, como reação à arte rococó, é bem-vindo. Como expressão do niilismo, chega a ser inócuo ou até indesejado. O minimalismo é também uma reação à arte intuitiva, impressionista, pois exige que o artista pense, muitas vezes à maneira de um matemático, um analista, ou um anatomista que disseca a própria arte até chegar não no osso, mas no tutano de uma expressividade elementar.

A arte minimalista, por outro lado, também sofre críticas, e críticas bem fundamentadas. O premiadíssimo músico brasileiro Flô Menezes (1962-), argumenta em defesa de uma arte maximalista, em que o artista, longe de impôr restrições, deveria criar uma obra fenomenologicamente complexa, em que a simultaneidade dos eventos e dos objetos seja trabalhada sem artificialismos. Em uma entrevista, Menezes critica o minimalismo musical americano, descrevendo-o diluído e previsível. No entanto, o próprio design do website de Menezes é minimalista, o que nos indica que, aparentemente, minimalismo e maximalismo não são posturas contraditórias, mas opções nas mãos do artista.

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Arte Arte fractal

Arte fractal

Fractais são objetos matemáticos cuja dimensão fractal excede a sua dimensão topológica. Esta é a definição técnica de fractais, mas… será não que conseguimos entender os fractais de outra maneira?

Fractais são utilizados em quase todos os campos da ciência, modelando fenômenos físicos, (como a dispersão do petróleo em meio poroso), fenômenos biológicos (como a distribuição das veias no corpo humano), fenômenos econômicos (como a trajetória do valor de ações na Bolsa) e também muitas aplicações dentro da própria matemática. Além disso, os fractais podem ser vistos como objetos visuais de grande apelo artístico, e essa é precisamente sua faceta mais popular e atraente.

Em apoio aos iniciantes e principalmente àqueles que pretendem dedicar um pouco de seu tempo à criação dos próprios fractais, traduzi o Manifesto da Arte Fractal abaixo como uma introdução à estética fractal.

Após o manifesto, há uma galeria com imagens reduzidas de alguns fractais que criei. No fim da página, acrescentei links para programas geradores de fractais.

O manifesto da arte fractal

© 1999 Kerry Mitchell

Como gênero, a Arte Fractal existe há aproximadamente 30 anos. A publicação, em 1985, na “Scientific American”, de um artigo sobre o conjunto de Mandelbrot pode ser considerada sua primeira grande aparição pública.

Desde então muitos avanços têm sido feitos, tanto nas possibilidades de renderização fractal, quanto no entendimento da geometria fractal. Talvez agora seja o momento oportuno para definirmos o que é (e o que não é) Arte Fractal.

Arte Fractal é um gênero relacionado aos fractais – formas ou conjuntos caracterizados pela autossemelhança (pequenas partes da imagem são semelhantes à imagem inteira) e por uma infinita quantidade de detalhes, em todas as escalas. Fractais são tipicamente criados em computadores digitais através de um processo numérico iterativo. Ultimamente, imagens que não são tecnicamente fractais, mas que usam a mesma técnica básica de geração e o mesmo ambiente, têm sido bem-vindas no mundo da Arte Fractal.

A Arte Fractal é uma subclasse das artes visuais bidimensionais, e em muitos fatores semelhante à fotografia – outra forma de arte que foi acompanhada de ceticismo em sua origem. Imagens fractais manifestam-se tipicamente como gravuras, levando os artistas fractais para a companhia dos pintores, fotógrafos e gravadores.

Fractais existem nativamente como imagens eletrônicas. Este é um formato que os artistas visuais tradicionais estão rapidamente abraçando, o que os leva para o reino digital da Arte Fractal. Gerar fractais pode ser um desafio artístico, uma busca matemática, ou apenas uma diversão inofensiva. No entanto, a Arte Fractal é claramente distinta de outras atividades digitais pelo que ela é, e pelo que ela não é. Arte Fractal não é:

  • Arte computadorizada, no sentido em que o computador faz todo o trabalho. A obra é feita em um computador, mas apenas sob a direção do artista. Ligue um computador e deixe-o só por uma hora. Quando você voltar, nenhuma arte terá sido gerada.
  • Aleatória, no sentido de estocástica, ou sem regras. Baseada na matemática, a renderização fractal é a quintessência do determinismo. Siga os mesmos passos na geração de uma imagem e os mesmos resultados serão produzidos. Pequenas variações no processo levam em geral a pequenas alterações no produto, o que faz da Arte Fractal uma atividade que pode ser aprendida, e não um processo fortuito de apertar e girar botões.
  • Aleatória, no sentido de imprevisível. A Arte Fractal, como qualquer nova atividade, terá aspectos desconhecido para o novato, mas familiares para o mestre. Através de experiência e da educação, as técnicas da Arte Fractal podem ser aprendidas. Como na pintura ou no xadrez, o essencial é rapidamente dominado, ainda que uma vida inteira seja necessária para um total entendimento e controle. Com o passar do tempo, a alegria de uma descoberta serendíptica é trocada pela alegria da criação autodeterminada.
  • Algo que qualquer um com um computador pode fazer bem. Qualquer um pode pegar uma máquina fotográfica e tirar uma foto. Entretanto, nem todo mundo pode ser uma Annie Leibovitz ou um Sebastião Salgado. Todo mundo pode pegar um pincel e pintar. No entanto, nem todo mundo pode ser um Pablo Picasso ou um Cândido Portinari. De fato, todos os que possuem um computador podem criar imagens fractais, mas nem todo mundo será um mestre na criação de Arte Fractal.

Arte Fractal é:

  • Expressiva. Através das cores de um pintor, do uso da luz e da sombra de um fotógrafo, ou dos movimentos de uma dançarina, artistas aprendem a manifestar e evocar todos os tipos de idéias e expressões. Artistas Fractais são não menos capazes de usar seus meios como uma linguagem expressiva semelhante, pois são equipados com todas as ferramentas essenciais do artista visual tradicional.
  • Criativa. A imagem fractal final deve ser criada como a fotografia ou a pintura. Pode ser criada como uma obra figurativa, uma abstração da forma fractal básica, ou umaobra não-figurativa. O Artista Fractal começa com uma tela em branco e cria uma imagem servindo-se dos mesmos elementos de cor, composição, balanço, etc., usados pelo artista visual tradicional.
  • Requer input, esforço e inteligência. O Artista Fractal deve dirigir a montagem das fórmulas, das transformações, dos esquemas de cores, das paletas e dos parâmetros exigidos. Todo elemento pode e será manipulado, ajustado, alinhado e remanipulado no esforço de encontrar a combinação certa. A liberdade de manipular todas essas facetas de uma imagem fractal traz consigo a obrigação de entender seus empregos e seus efeitos. Esse entendimento requer inteligência e concentração por parte do artista.

Mais do que tudo, Arte Fractal é simplesmente o que criam os Artistas Fractais: ARTE.

Galeria

Visite nossa galeria com alguns fractais que criamos ao longo dos anos.

Links

www.fractalus.com/kerry/
Homepage de Kerry Mitchell. Galerias fractais. The Manifest of the Fractal Art.

Mandelbulber
Gera fractais em 3D. Open source.

Incendia
Excelente gerador de fractais 3D. Donationware.

Ultrafractal
Atualmente o mais poderoso gerador de fractais, com recursos de layers e máscaras. Gera imagens em high-color. Shareware.

ChaosPro
O ChaosPro aceita arquivos do Ultrafractal, Fractint e outros, com vários recursos. Alternativa ao Ultrafractal. Freeware.

Fractint
Clássico programa gerador de fractais. O mais popular entre os artistas fractais. Seu domínio é imprescindível para uma boa compreensão das técnicas e dos elementos fundamentais da arte fractal. Freeware.

Com a exceção do primeiro link, todos os outros remetem para páginas de onde é possível o download dos programas citados. Recomendamos ainda uma busca por “fractal” ou “fractals” no DuckDuckGo para acesso a milhares de links para outros programas, galerias e escritos.

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História da matemática Matemática

20 Episódios da História da Matemática

Este é o título do nosso novo livro, disponível para compra pela Amazon: https://www.amazon.com.br/dp/B08PBZHRPD

Este livro é uma compilação e reformulação das 20 últimas postagens sobre história da matemática publicadas aqui. Espero que você goste!

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História da matemática Leibniz Matemática

​O gênio de Leibniz

Trigramas do I Ching e os números binários. Fonte:
Explication de l’arithmétique binaire
.

Contemporâneo de Newton, com quem se correspondeu, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) foi uma dessas personalidades incontornáveis da história das ciências e da filosofia. Polímata de grande amplitude e profundidade, Leibniz foi outra figura central no desenvolvimento da matemática dos séculos XVII e XVIII. Mas não só dela: a lógica, a física, a biologia, a medicina, a psicologia, a linguística e a moderna computação lhe devem grandes tributos.

Como Newton, mas de maneira independente, Leibniz também desenvolveu sua versão do cálculo, tendo criado a notação mais utilizada atualmente. Seu cálculo era igualmente baseado em infinitésimos, geradores de desconcertantes contradições, mas Leibniz encarou o problema e buscou uma fundamentação clara e objetiva, dando os primeiros passos concretos para sua inclusão legítima no panteão matemático. No entanto, foi apenas na segunda metade do século XX, com a criação da análise não-standard por Abraham Robinson (1918 – 1974), que os infinitésimos foram finalmente reabilitados e puderam ser utilizados com tranquilidade pelos matemáticos — ainda que bem poucos o façam.

Leibniz era um lógico atento e profundo. Nesse terreno, fez uma contribuição fundamental: o princípio da identidade dos indiscerníveis, que afirma que duas coisas que têm o mesmo conjunto de propriedades são, na verdade, a mesma coisa. Junto com o princípio da não-contradição e o princípio da razão suficiente, esse é considerado um dos três grandes princípios da metafísica. Metodologicamente, ao transformar uma entidade na lista de propriedades que a definem, Leibniz nos deu uma lupa para a crítica social, uma vez que todas nossas ideias de universalidade passam por escolhas de propriedades comuns a classes de indivíduos, e essas escolhas não são naturais, mas ideologicamente motivadas.

Leibniz era também um gênio mecânico. Projetou e construiu a primeira calculadora capaz de realizar todas as quatro operações aritméticas, a Staffelwalze (contadora de passos):

Replica da Staffelwalze. Fonte: Wikipedia.

Leibniz acreditava, como muitos cientistas ainda hoje, que cálculos laboriosos ocupam um tempo precioso de um pesquisador e que qualquer pessoa pode fazer a mesma coisa com o auxílio de uma máquina. A Staffelwalze, porém, tinha um projeto tão delicado e sutil de engrenagens, tão além das habilidades dos artesãos da época, que apenas duas cópias foram feitas. A Leibniz, que pretendia comercializá-la, coube apenas se conformar.

Fascinado com dispositivos mecânicos e com a automação de ações repetitivas, Leibniz pretendeu levar essas ideias para outros domínios de atividade humana. Imaginava, por exemplo, que contendas e disputas judiciais poderiam ser resolvidas se as partes conseguissem codificar suas demandas em uma espécie de linguagem a ser manipulada algebricamente, como em uma máquina, produzindo a solução do impasse.

A ideia de criar uma linguagem universal que codificasse os entes do mundo e suas relações ocupou Leibniz durante sua juventude e muito de sua vida adulta. Seus esforços nessa direção passaram tanto pela filosofia quanto pela matemática, e inspiraram a criação de línguas artificiais, como o esperanto além de ter dado partida na moderna teoria da computação, que tem seu texto fundador no artigo Explication de l’arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu’elle donne le sens des anciennes figures Chinoises de Fohi (Explicação da aritmética binária, que se serve apenas dos caracteres 0 e 1, com observações sobre sua utilidade e sobre o sentido que dá às antigas figuras chinesas de Fuxi). Esse texto pode ser lido na página https://fredlopes.com.br/matematica/historia-da-matematica/

Nesse artigo, Leibniz mostra como codificar todos os números através de um sistema de numeração de base 2 que necessita apenas de dois símbolos, 0 e 1. Além disso, e porque recebeu de um amigo uma cópia do I Ching, Leibniz percebeu as ligações entre os trigramas do livro e o seu sistema, vislumbrando, assim, mais um passo na construção da sua língua universal, chamado por ele de characteristica universalis.

Vamos a um exemplo. Tome a sequência geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32… em que cada número é o dobro do número anterior. Leibniz percebeu que qualquer número inteiro pode ser escrito como a soma de alguns números dessa série. Por exemplo, 51 pode ser escrito como 32 + 16 + 2 + 1, começando do maior número para o menor. Observe que você não usou os números 8 e 4. Assim, se você fixar a série como 32, 16, 8, 4, 2, 1 e “marcar” com 1 aqueles números que foram utilizados e com 0 aqueles que não o foram, temos a sequência 1, 1, 0, 0, 1, 1, indicando que usei 32, usei 16, não usei 8, não usei 4, usei 2 e usei 1. Escrevendo sem as vírgulas, temos o número 110011, que lemos um, um, zero, zero, um, um.

O artigo vai além e indica como somar, subtrair, multiplicar e dividir esses números binários. O que Leibniz não imaginou é que esse sistema de numeração viria a ser utilizado 250 anos depois no desenvolvimento dos modernos computadores – do celular que você usa para ler este texto.

Discussão

Leibniz foi outro filósofo que se dedicou muito à matemática. Por que será que boa parte dos filósofos ocidentais foram também matemáticos ou, pelo menos, ensinaram matemática em algum momento de suas vidas? Pense também no seguinte:

  1. Você acha que as operações aritméticas devem ser ensinadas nas escolas apenas para que possamos operar computadores com segurança? Se uma máquina calcula melhor do que nós, por que precisamos aprender, por exemplo, a dividir dois números longos?
  2. O princípio dos indiscerníveis de Leibniz é um princípio lógico definitivo e universal? Você concorda com ele?
  3. Você acredita na possibilidade de criação de uma língua universal a ser utilizada na comunicação humana?
  4. A numeração binária de Leibniz foi utilizada pelo matemático inglês George Boole (1815 – 1864) na algebrização da lógica, algebrização que foi utilizada pelos pioneiros da computação digital. Você acha que esse é um exemplo de como o conhecimento desinteressado e a pesquisa básica sem pretensões utilitárias devem ser mantidos e custeados com dinheiro público?
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História da matemática Infinitésimos Matemática Newton

Newton e os infinitésimos

Pagina de rosto do livro Método das fluxões
Fonte: Wikimedia Commons

Isaac Newton (1642 – 1727), um cientista tímido e reservado, foi para o século XVIII o que Albert Einstein (1879 – 1955) foi para o século XX: um gênio que mudou o paradigma da ciência de seu tempo. Talvez ainda mais do que Einstein, Newton foi não só um criador de uma nova maneira de pensar a ciência natural, mas também um matemático original e profundo que forjou os instrumentos intelectuais do mundo moderno.

Há tanto o que falar de Newton, o último dos magos e o primeiro dos modernos, que toda escolha é uma severa ofensa a sua obra multifacetada. Todavia, limitaremos este texto a um aspecto de seu trabalho sobre uma das mais importantes ferramentas matemáticas da humanidade: o cálculo.

Foi no livro The Method of Fluxions (O método das fluxões), escrito em 1671 mas publicado postumamente em 1736, que Newton apresentou seu método das fluxões, o nome do que hoje conhecemos como derivadas. Derivadas estão no coração do chamado cálculo diferencial e integral e na raiz da revolução científica operada por Newton e seus contemporâneos. Mas por que são assim tão importantes?

Derivadas aparecem em todos os lugares. Quando medimos a velocidade em quilômetros por hora (km/h), a corrente elétrica em coulombs por segundo (C/s), a vazão em litros por segundo (l/s), estamos falando de derivadas. De maneira simplificada, Newton descobriu como, dada a equação da trajetória de um planeta, encontrar a equação de sua velocidade, e vice-versa. Newton derivou uma equação de outra, e essa foi a origem do nome derivada — nome que ele não utilizou.

Geometricamente, o problema envolve encontrar retas tangentes a curvas. O processo é simples uma vez entendido, mas criá-lo não foi nada fácil. Matemáticos, desde a antiguidade, desenvolveram métodos próprios para resolver problemas particulares, mas nenhum método geral que se aplicasse a todas as equações então conhecidas. Newton desenvolveu seu próprio método fazendo uso de um conceito controverso na história da matemática: os infinitésimos.

Tome um número positivo bem pequeno, mas que não seja zero. Suponha que esse número seja 0,01. É possível pensar um número menor? Sim, e até um dez vezes menor: 0,001. É possível pensar em um menor ainda? Sim: 0,0001, novamente dez vezes menor do que o anterior, e assim sucessivamente. Um infinitésimo é menor que todos esses números imagináveis, e ainda assim não é zero. Como isso é possível?

No conjunto dos número reais, isso não é possível. Mesmo assim, Newton fez uso dos infinitésimos bem ciente de suas contradições. Empregou-os com coragem para resolver uma série de problemas persistentes, em linha com outros matemáticos de séculos anteriores que operaram com essas aparentes aberrações lógicas sem muitos pudores. Mas, por temer críticas e controvérsias, Newton postergou indefinidamente a publicação de seus resultados.

Vamos a um exemplo bem simples. Considere a equação mais simples de uma parábola, f(x)=x2, e considere que precisamos encontrar uma reta tangente em um ponto A(x, y) qualquer, como mostra a figura a seguir:

A reta (em vermelho) tangenciando a curva f (em azul) no ponto A

Em um determinado momento do processo de encontrar a derivada, Newton introduziria o infinitésimo “o” e faria o quociente

\frac{(x + o)^2\ -\ x^2}{(x+o)-x} = \frac{2xo+o^2}{o} = 2x+o

Depois, sem mais delongas, desprezaria o número “o” e encontraria a equação derivada 2x. O problema? Introduzir no processo algo diferente de zero e depois desprezá-lo como se fosse zero.

Newton sabia bem disso, como sabiam todos os matemáticos que utilizaram infinitésimos. Tudo funcionava maravilhosamente, mas ninguém conseguiu ignorar um elefante que surgiu na sala: o método parecia corroer as bases lógicas do edifício da matemática. Nunca na história das ciências um elefante tão diminuto causou tantos problemas.

Apesar dos contratempos, o método das fluxões continha os germes da ideia moderna de limites, usada para formalizar o conceito de derivadas e expulsar as contradições que os infinitésimos criavam. Mas, para isso, um complicado formalismo teve que ser introduzido no cálculo, gerando uma sopa de letrinhas intragável que os pobres coitados dos estudantes de exatas devem digerir nos modernos — e antipedagógicos — cursos universitários de cálculo.

Discussão

  1. Newton escreveu uma quantidade impressionante de artigos sobre alquimia e teologia, muito mais do que sobre física e matemática. No entanto, apenas estes últimos tiveram influência duradoura, enquanto os livros de teologia e alquimia foram esquecidos pela história. Por que você acha que isso aconteceu?
  2. Os infinitésimos foram usados com sucesso durante séculos, antes e depois de Newton. Foram descartados pelos matemáticos do século XIX, preocupados com o rigor, e redescobertos na segunda metade do século XX. As contradições que geravam foram domadas e seu emprego foi reabilitado. Ainda assim, pouquíssimos os utilizam atualmente. Você acredita que ideias científicas têm seu tempo, e que, uma vez superadas, não é mais possível reutilizá-las?
  3. Quais são os motivos para que as disciplinas de cálculo diferencial e integral sejam as maiores reprovadoras nas universidades?

Para saber mais

  • cálculo diferencial e integral
  • teorema fundamental do cálculo
  • infinitésimo
  • limites e notação \epsilon - \delta