Newton e os infinitésimos

Pagina de rosto do livro Método das fluxões
Fonte: Wikimedia Commons

Isaac Newton (1642 – 1727), um cientista tímido e reservado, foi para o século XVIII o que Albert Einstein (1879 – 1955) foi para o século XX: um gênio que mudou o paradigma da ciência de seu tempo. Talvez ainda mais do que Einstein, Newton foi não só um criador de uma nova maneira de pensar a ciência natural, mas também um matemático original e profundo que forjou os instrumentos intelectuais do mundo moderno.

Há tanto o que falar de Newton, o último dos magos e o primeiro dos modernos, que toda escolha é uma severa ofensa a sua obra multifacetada. Todavia, limitaremos este texto a um aspecto de seu trabalho sobre uma das mais importantes ferramentas matemáticas da humanidade: o cálculo.

Foi no livro The Method of Fluxions (O método das fluxões), escrito em 1671 mas publicado postumamente em 1736, que Newton apresentou seu método das fluxões, o nome do que hoje conhecemos como derivadas. Derivadas estão no coração do chamado cálculo diferencial e integral e na raiz da revolução científica operada por Newton e seus contemporâneos. Mas por que são assim tão importantes?

Derivadas aparecem em todos os lugares. Quando medimos a velocidade em quilômetros por hora (km/h), a corrente elétrica em coulombs por segundo (C/s), a vazão em litros por segundo (l/s), estamos falando de derivadas. De maneira simplificada, Newton descobriu como, dada a equação da trajetória de um planeta, encontrar a equação de sua velocidade, e vice-versa. Newton derivou uma equação de outra, e essa foi a origem do nome derivada — nome que ele não utilizou.

Geometricamente, o problema envolve encontrar retas tangentes a curvas. O processo é simples uma vez entendido, mas criá-lo não foi nada fácil. Matemáticos, desde a antiguidade, desenvolveram métodos próprios para resolver problemas particulares, mas nenhum método geral que se aplicasse a todas as equações então conhecidas. Newton desenvolveu seu próprio método fazendo uso de um conceito controverso na história da matemática: os infinitésimos.

Tome um número positivo bem pequeno, mas que não seja zero. Suponha que esse número seja 0,01. É possível pensar um número menor? Sim, e até um dez vezes menor: 0,001. É possível pensar em um menor ainda? Sim: 0,0001, novamente dez vezes menor do que o anterior, e assim sucessivamente. Um infinitésimo é menor que todos esses números imagináveis, e ainda assim não é zero. Como isso é possível?

No conjunto dos número reais, isso não é possível. Mesmo assim, Newton fez uso dos infinitésimos bem ciente de suas contradições. Empregou-os com coragem para resolver uma série de problemas persistentes, em linha com outros matemáticos de séculos anteriores que operaram com essas aparentes aberrações lógicas sem muitos pudores. Mas, por temer críticas e controvérsias, Newton postergou indefinidamente a publicação de seus resultados.

Vamos a um exemplo bem simples. Considere a equação mais simples de uma parábola, f(x)=x2, e considere que precisamos encontrar uma reta tangente em um ponto A(x, y) qualquer, como mostra a figura a seguir:

A reta (em vermelho) tangenciando a curva f (em azul) no ponto A

Em um determinado momento do processo de encontrar a derivada, Newton introduziria o infinitésimo “o” e faria o quociente

\frac{(x + o)^2\ -\ x^2}{(x+o)-x} = \frac{2xo+o^2}{o} = 2x+o

Depois, sem mais delongas, desprezaria o número “o” e encontraria a equação derivada 2x. O problema? Introduzir no processo algo diferente de zero e depois desprezá-lo como se fosse zero.

Newton sabia bem disso, como sabiam todos os matemáticos que utilizaram infinitésimos. Tudo funcionava maravilhosamente, mas ninguém conseguiu ignorar um elefante que surgiu na sala: o método parecia corroer as bases lógicas do edifício da matemática. Nunca na história das ciências um elefante tão diminuto causou tantos problemas.

Apesar dos contratempos, o método das fluxões continha os germes da ideia moderna de limites, usada para formalizar o conceito de derivadas e expulsar as contradições que os infinitésimos criavam. Mas, para isso, um complicado formalismo teve que ser introduzido no cálculo, gerando uma sopa de letrinhas intragável que os pobres coitados dos estudantes de exatas devem digerir nos modernos — e antipedagógicos — cursos universitários de cálculo.

Discussão

  1. Newton escreveu uma quantidade impressionante de artigos sobre alquimia e teologia, muito mais do que sobre física e matemática. No entanto, apenas estes últimos tiveram influência duradoura, enquanto os livros de teologia e alquimia foram esquecidos pela história. Por que você acha que isso aconteceu?
  2. Os infinitésimos foram usados com sucesso durante séculos, antes e depois de Newton. Foram descartados pelos matemáticos do século XIX, preocupados com o rigor, e redescobertos na segunda metade do século XX. As contradições que geravam foram domadas e seu emprego foi reabilitado. Ainda assim, pouquíssimos os utilizam atualmente. Você acredita que ideias científicas têm seu tempo, e que, uma vez superadas, não é mais possível reutilizá-las?
  3. Quais são os motivos para que as disciplinas de cálculo diferencial e integral sejam as maiores reprovadoras nas universidades?

Para saber mais

  • cálculo diferencial e integral
  • teorema fundamental do cálculo
  • infinitésimo
  • limites e notação \epsilon - \delta

Descartes e a geometria analítica

O sistema do GPS e a técnica de triangulação
Fonte: Oficina da Net

O GPS (Global Position System – Sistema de Posicionamento Global), massivamente utilizado em aplicativos de transporte, foi uma invenção que teve início em 1957, quando a antiga União Soviética lançou o primeiro satélite da história — o Sputnik. A ideia de localizar objetos em terra a partir do espaço foi uma das motivações do projeto, mas foram os Estados Unidos que primeiro desenvolveram o sistema de localização, disponível a partir de 2000 para toda a população. O GPS faz uso, e de maneira até bem simples, de um sistema de coordenadas espaciais, provido pelo que hoje chamamos de geometria analítica.

A geometria analítica tem uma história antiga e, como todas as criações matemáticas, ela não surge completa e definitiva. Seu longo amadurecimento ocorreu nas mãos de matemáticos que precisavam localizar pontos e curvas no plano e no espaço a partir de uma referência. Esse referenciamento pode ser feito de várias maneiras, cada uma dando origem a um sistema de coordenadas. Os sistemas mais empregados hoje são o de coordenadas polares, largamente utilizado por Isaac Newton (1643 – 1727), e o de coordenadas cartesianas, assim nomeado em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596 – 1650).

Talvez a mente mais lúcida de seu tempo, Descartes exerceu uma incomum influência na história das ideias. Principalmente preocupado em encontrar um fundamento sólido para todo o conhecimento, Descartes fazia parte da longa tradição de filósofos que buscavam as ideias mais básicas, certas e universais das quais tudo o mais se derivaria. Se você entendeu o que Euclides fez com sua estruturação lógico-dedutiva do conhecimento matemático, vai compreender o que Descartes procurou fazer, não só com a matemática, mas com todo o conhecimento humano.

Filósofo de coração, Descartes foi um matemático de grande talento. Ao editar La Géométrie (A Geometria) como um apêndice do seu mais importante livro, o Discurso do Método (1637), Descartes almejou libertar a geometria do uso de diagramas através de procedimentos algébricos e prover sentido geométrico às operações algébricas, fundindo ambas em um único corpo de conhecimentos.

Curiosamente, Descartes não usou o sistema de coordenadas cartesianas (!) ou nenhum outro sistema em sua Géométrie. No entanto, fixou o uso das letras x, y e z para variáveis e a, b e c para constantes; introduziu a moderna notação exponencial, como x3, x4, etc. (mas ainda escrevia xx para o que hoje escrevemos x2); descreveu curvas em termos de suas equações e interpretou equações em termos de curvas, além de ter quebrado com o antigo princípio da homogeneidade, que escravizou a imaginação matemática a considerar x como um segmento e xx como uma área.

A “tradução” bidirecional entre geometria e álgebra operada por Descartes inspirou os matemáticos posteriores a procurar traduções entre outros campos e a criar métodos e soluções seguras para problemas que seguiam intratáveis até então. A álgebra, que opera de maneira mecânica com um conjunto pequeno e sólido de princípios e regras, garante a toda a matemática que nela se fundamenta segurança e solidez. E assim teve início, com a obra de Descartes, a mecanização moderna da matemática — em nosso benefício?

Discussão

  1. Você acredita que é possível encontrar os princípios primeiros do conhecimento humano, como Descartes pretendia? Quais princípios seriam esses?
  2. O que você pensa do uso da álgebra em problemas de geometria? Acredita que seja uma coisa natural ou é algo que nos é imposto em função de alguma necessidade?
  3. Será que toda a matemática pode ser mecanizável de maneira a ser melhor operada por computadores? É bom que assim o seja?

Para saber mais

Seria interessante que você pesquisasse mais um pouco sobre

  • coordenadas polares
  • Discurso do Método
  • cogito ergo sum

Logaritmos

A calculadora conhecida como “Ossos de Napier”
Fonte: Wikimedia Commons

Uma experiência comum entre professores de matemática é ouvir de alunos a provocativa pergunta “para que serve?”. E uma experiência ainda mais comum entre os alunos que não fazem tais perguntas é suspeitar que quase toda a matemática que aprenderam não serve para absolutamente nada. Ambas as experiências são falsamente reforçadas quando o tema em questão são os logaritmos.

Foi o matemático escocês John Napier (1550 – 1617) que introduziu os logaritmos como expediente de cálculo para simplificar as tediosas operações com números de muitos dígitos, necessárias aos astrônomos e navegadores da época. Com os logaritmos, operações de multiplicação, divisão e exponenciação se transformam em simples adições, subtrações e multiplicações. Mas como?

Suponha que você necessite realizar a multiplicação 32 x 128 e tem ao seu lado uma tabela de potências de 2. Olhando a tabela, você percebe que 32 = 25 e 128 = 27. Daí percebe que para multiplicar esses números basta somar os expoentes 5 e 7 e achar 12. Com esse valor, você olha de novo na tabela e vê que 212 = 4096, encontrando a resposta da multiplicação. Você evitou uma multiplicação com uma adição e três olhadelas em uma tabela.

Pareceu mais complicado do que realizar a multiplicação? Mas não é. Imagine multiplicar números como 3,476098 e 1,775369 dezenas de vezes durante o dia. Mais fácil seria transformar essas multiplicações todas em adições, olhando em uma tabela os expoentes de 3,476098 e 1,775369, somar esses expoentes e novamente olhar na tabela o número que corresponde ao expoente encontrado. Quando usados dessa forma, esses expoentes são chamados de logaritmos.

Napier viria a aperfeiçoar sua invenção juntamente com o matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1630) e, a partir de então, os logaritmos se tornariam o mais importante avanço nas técnicas de cálculo até a invenção do computador digital, cerca de 400 anos depois.

Napier dedicou muito do seu tempo para desenvolver instrumentos de cálculo. Além dos logaritmos, desenvolveu uma espécie de ábaco chamado carinhosamente de ossos de Napier. A figura no início deste post mostra como era um instrumento desse: tabelas de multiplicação eram incorporadas em hastes que, quando giradas, transformavam multiplicações em adições e divisões em subtrações, seguindo a mesma lógica dos logaritmos. Em versões mais avançadas, extraíam até raízes quadradas. Os ossos de Napier foram inspirados em ideias de matemáticos árabes e também nas de Fibonacci, mostrando mais uma vez a influência de ambos na cultura europeia.

Pouco antes das calculadoras eletrônicas, era comum encontrar engenheiros utilizando réguas de cálculo em seus projetos. Esses instrumentos fascinantes incorporavam os logaritmos em sua construção e possibilitavam rapidez e precisão de resultados, dispensando tabelas e cálculos manuais. Ainda hoje são interessantes como instrumentos didáticos, e é comum encontrá-las em laboratórios de matemática nas universidades.

Alguns professores se desviam da pergunta impertinente “para que serve” dizendo coisas como “no futuro você verá” ou “para desenvolver o raciocínio”. Além de frustrarem as ambições científicas dos alunos, respostas como essas concorrem para demonstrar a ignorância do professor e as deficiências de sua formação. Melhor seria dizerem — e procurarem mostrar — como os logaritmos são usados na escala Richter, que mede a intensidade dos terremotos; no cálculo do potencial hidrogeniônico, o famoso pH, que calcula acidez ou a basicidade das substâncias; no cálculo da complexidade computacional, que classifica algoritmos segundo sua dificuldade inerente; na música, com o cálculo dos intervalos musicais; no cálculo da entropia de um sistema, medindo seu nível de desordem; e no cálculo da dimensão dos fractais. Mas será que os professores não acharão que isso “complica demais as coisas”?

Discussão

  1. Os logaritmos surgiram devido a necessidades práticas dos cientistas. Você acha que toda matemática é criada a partir de alguma urgência pragmática?
  2. Se os esforços dos matemáticos se concentraram, durante muito tempo, em construir máquinas que fizessem as contas mais tediosas para eles, por que você deveria aprender a realizá-las com lápis e papel?
  3. Você consegue dizer alguma outra aplicação dos logaritmos além daquelas discutidas no texto?

Para saber mais

Procure saber mais sobre:

  • exponenciação e radiciação
  • régua de cálculo
  • escala Richter
  • pH
  • dimensão fractal

Bombelli e os números complexos

Fractal criado com números complexos
Fonte: Arquivo pessoal

Há cerca de 500 anos atrás, quando matemáticos ainda se debatiam com números negativos, uma nova classe de números ainda mais estranha surgia: os números complexos. Apesar de realizarem seu début na obra de Cardano, coube a Rafael Bombelli (1526 – 1572) iniciar o primeiro estudo sistemático desses objetos que viriam revolucionar o conceito de número.

Bombelli foi um engenheiro talentoso que viveu em um ambiente intelectual onde as mais avançadas técnicas algébricas estavam facilmente disponíveis. Fazendo bom uso de sua mentalidade prática, escreveu um livro que pode ser lido ainda hoje por leigos e profissionais. Editado no mesmo ano da morte de seu autor, em 1572, essa obra possui o título originalíssimo de… Algebra.

Possuidor da rara virtude de ser claro e acessível, esse livro fez com que Bombelli se tornasse o primeiro europeu a escrever as regras de operação com números inteiros:

Mais vezes mais faz mais.

Menos vezes menos faz mais.

Mais vezes menos faz menos.

Menos vezes mais faz menos.

Mais 8 vezes mais 8 faz mais 64.

Menos 5 vezes menos 6 faz mais 30.

Menos 4 vezes mais 5 faz menos 20.

Além disso, 5 vezes menos 4 produz menos 20.

Da Algebra, de Bombelli

Mais do que pelo seu trabalho com inteiros, Bombelli se destaca na história da matemática por ter sido o primeiro a operar com números complexos, aqueles que envolvem raízes de números negativos, como vistos nesse post.

Bombelli teve a presciência de perceber como os complexos eram essenciais na resolução de cúbicas e quárticas e possivelmente em outros problemas. Ele introduziu a simbologia \sqrt{-1}, que mais tarde viria a ser simplificada para i por L. Euler (1707 – 1783), para dar um perfil manuseável a esses números.

Bombelli sabia que os complexos eram potencialmente problemáticos. Entendia que não eram positivos nem negativos, e também que considerá-los como simples raízes era uma fonte de confusão – o que de fato aconteceu com os matemáticos dos séculos seguintes. Ao chamar a \sqrt{-1} de “mais de menos”, e - \sqrt{-1} de “menos de mais”, Bombelli forneceu as regras formais de operação que usamos ainda hoje, revelando a índole mecânica da álgebra, que não necessita de significados concretos para funcionar perfeitamente. Além disso, os complexos nos mostraram que pensar números como representações de quantidades ou magnitudes é tão falso quanto imaginar que lógica e leis do pensamento são sinônimas.

Os números complexos são absolutamente essenciais na matemática pura e aplicada. Aparecem na solução de diversos tipos de equações diferenciais, presentes na maioria dos modelos que os cientistas criam sobre o mundo. Sem elas, você não estaria lendo este texto na tela de seu computador ou celular. Ao observar a imensa gama de suas aplicações, percebemos que são os bizarros complexos, para os quais temos imensas dificuldades em atribuir um sentido concreto, os mais práticos dos números que conhecemos.

Discussão

  1. O que é um número?
  2. Bombelli conseguiu escrever um livro que era ao mesmo tempo profundo e simples de se ler. Você consegue citar algum outro livro de matemática com essas qualidades?
  3. Fractais, como aquele no início deste texto, são criados com a manipulação computacional de números complexos, e servem como uma das portas de entrada para a reflexão sobre arte e matemática. Por que será que tanta gente vê relações entre esses dois domínios aparentemente tão distantes?

Para saber mais

  • equações diferenciais
  • modelo matemático
  • fractais

Cardano, a álgebra e a probabilidade

Página inicial da Ars Magna
Fonte: Wikimedia Commons

Se algo existe que nos faça pensar em não utilizar fontes primárias no ensino de matemática, esse algo é o livro Ars Magna, do médico, matemático, astrólogo e jogador inveterado italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576), um livro moroso e entediante em franco contraste com a vida de seu autor.

Cardano nasceu em 1501 em Pavia, na Itália, e formou-se em medicina em 1525 na Universidade de Pádua. Exerceu a profissão de médico em cidades pequenas até se mudar para Milão, onde obteve licença para ensinar matemática, paixão intelectual que perseguiu até seus últimos dias. Embora tenha escrito cerca de 200 obras sobre medicina, biologia, física, química, astronomia, mecânica, filosofia e até astrologia, foi na matemática que se mostrou mais proficiente e mais fecundo.

Sua obra mais conhecida é a Artis magnae, sive de regulis algebraicis (Da grande arte, ou sobre as regras da álgebra), a que nos referimos simplesmente como Ars Magna. Nela encontramos a primeira publicação de soluções puramente algébricas de equações cúbicas e quárticas, equações polinomiais de graus 3 e 4, respectivamente. Cardano, no entanto, não foi seu descobridor: ele atribui a Scipione del Ferro (1465 – 1526) a solução da cúbica e a seu aluno Ludovico Ferrari (1522 – 1565) a da quártica.

É preciso parar e observar que esse foi um momento muito importante na história da matemática. A solução de equações polinomiais de qualquer grau é uma busca milenar que começou na antiguidade, tendo ocupado gerações e gerações de matemáticos amadores e profissionais. Com Cardano, as equações de graus 1, 2, 3 e 4 foram definitivamente solucionadas. Foi o passo seguinte, a busca da solução da equação de quinto grau, a quíntica, que ocasionou a criação da moderna álgebra abstrata. Niels Abel (1802 – 1829) e Evariste Galois (1811 – 1832) foram os responsáveis por demonstrar, independentemente, que a quíntica só possui soluções para casos particulares, ficando o caso geral ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 sem uma fórmula que o resolva.

Outro fato interessante da história da matemática do período é saber que os números negativos, hoje tão comuns, ainda não eram bem aceitos àquela época. Historicamente ligado às ideias de quantidade e de magnitude, o conceito de número não admitia algo “menor do que o nada”, engano comum entre os estudantes de matemática ainda hoje. Essa proibição cognitiva obrigou Cardano, assim como todos os matemáticos da época, a tratar equações do tipo x^3+ax=b de maneira diferente de equações do tipo x^3=ax+b, o que hoje resolvemos com o mesmo método. No entanto, ele de fato operou formalmente com números negativos e, de maneira desconcertante, também com números complexos, aqueles que envolviam raízes de números negativos.

Na Ars Magna, Cardano apresenta o seguinte problema: encontre dois números tais que sua soma seja 10 e seu produto seja 40. As respostas são 5+\sqrt{-15} e 5-\sqrt{-15}, que Cardano chamou de “sofísticas”, pois não viu nelas nenhum significado físico. Mesmo assim, Cardano foi adiante, realizou as contas, corajosamente, e viu que as soluções satisfaziam as condições do problema. Apesar do sucesso, declarou que essas respostas seriam tão sutis quanto inúteis. Esta foi a primeira aparição de números complexos em uma obra impressa.

Cardano era um jogador contumaz e um enxadrista talentoso, o que lhe rendeu um bom dinheiro durante sua vida, o suficiente para saldar as múltiplas dívidas que sistematicamente contraía. Como não poderia deixar de ser, escreveu também sobre jogos no Liber de ludo aleae (Livro dos jogos de azar), que contém o primeiro tratamento sistemático da probabilidade, outro grande debate da época. Mas o que torna esse livro impertinentemente delicioso são as muitas técnicas para trapacear em diversos jogos, um brinde de Cardano à vida de apostador que ele adorava viver.

Discussão

  1. Além de cientista, Cardano era também astrólogo, tendo feito inúmeros mapas astrais para os poderosos da época. Sabemos hoje que a astrologia é uma pseudociência sem a mínima chance de voltar a ter o respeito que teve antigamente. Mas ainda é extremamente popular. O que vc pensa disso?
  2. Você consegue imaginar um argumento que justifique tanta energia empregada, durante tanto tempo, para resolver equações polinomiais?
  3. Se um número não é a medida de uma quantidade, então o que ele é?

Para saber mais

  • resolução da cúbica por radicais
  • resolução da quíntica
  • álgebra abstrata
  • números complexos
  • probabilidade