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Arte Arte fractal

Arte fractal

Fractais são objetos matemáticos cuja dimensão fractal excede a sua dimensão topológica. Esta é a definição técnica de fractais, mas… será não que conseguimos entender os fractais de outra maneira?

Fractais são utilizados em quase todos os campos da ciência, modelando fenômenos físicos, (como a dispersão do petróleo em meio poroso), fenômenos biológicos (como a distribuição das veias no corpo humano), fenômenos econômicos (como a trajetória do valor de ações na Bolsa) e também muitas aplicações dentro da própria matemática. Além disso, os fractais podem ser vistos como objetos visuais de grande apelo artístico, e essa é precisamente sua faceta mais popular e atraente.

Em apoio aos iniciantes e principalmente àqueles que pretendem dedicar um pouco de seu tempo à criação dos próprios fractais, traduzi o Manifesto da Arte Fractal abaixo como uma introdução à estética fractal.

Após o manifesto, há uma galeria com imagens reduzidas de alguns fractais que criei. No fim da página, acrescentei links para programas geradores de fractais.

O manifesto da arte fractal

© 1999 Kerry Mitchell

Como gênero, a Arte Fractal existe há aproximadamente 30 anos. A publicação, em 1985, na “Scientific American”, de um artigo sobre o conjunto de Mandelbrot pode ser considerada sua primeira grande aparição pública.

Desde então muitos avanços têm sido feitos, tanto nas possibilidades de renderização fractal, quanto no entendimento da geometria fractal. Talvez agora seja o momento oportuno para definirmos o que é (e o que não é) Arte Fractal.

Arte Fractal é um gênero relacionado aos fractais – formas ou conjuntos caracterizados pela autossemelhança (pequenas partes da imagem são semelhantes à imagem inteira) e por uma infinita quantidade de detalhes, em todas as escalas. Fractais são tipicamente criados em computadores digitais através de um processo numérico iterativo. Ultimamente, imagens que não são tecnicamente fractais, mas que usam a mesma técnica básica de geração e o mesmo ambiente, têm sido bem-vindas no mundo da Arte Fractal.

A Arte Fractal é uma subclasse das artes visuais bidimensionais, e em muitos fatores semelhante à fotografia – outra forma de arte que foi acompanhada de ceticismo em sua origem. Imagens fractais manifestam-se tipicamente como gravuras, levando os artistas fractais para a companhia dos pintores, fotógrafos e gravadores.

Fractais existem nativamente como imagens eletrônicas. Este é um formato que os artistas visuais tradicionais estão rapidamente abraçando, o que os leva para o reino digital da Arte Fractal. Gerar fractais pode ser um desafio artístico, uma busca matemática, ou apenas uma diversão inofensiva. No entanto, a Arte Fractal é claramente distinta de outras atividades digitais pelo que ela é, e pelo que ela não é. Arte Fractal não é:

  • Arte computadorizada, no sentido em que o computador faz todo o trabalho. A obra é feita em um computador, mas apenas sob a direção do artista. Ligue um computador e deixe-o só por uma hora. Quando você voltar, nenhuma arte terá sido gerada.
  • Aleatória, no sentido de estocástica, ou sem regras. Baseada na matemática, a renderização fractal é a quintessência do determinismo. Siga os mesmos passos na geração de uma imagem e os mesmos resultados serão produzidos. Pequenas variações no processo levam em geral a pequenas alterações no produto, o que faz da Arte Fractal uma atividade que pode ser aprendida, e não um processo fortuito de apertar e girar botões.
  • Aleatória, no sentido de imprevisível. A Arte Fractal, como qualquer nova atividade, terá aspectos desconhecido para o novato, mas familiares para o mestre. Através de experiência e da educação, as técnicas da Arte Fractal podem ser aprendidas. Como na pintura ou no xadrez, o essencial é rapidamente dominado, ainda que uma vida inteira seja necessária para um total entendimento e controle. Com o passar do tempo, a alegria de uma descoberta serendíptica é trocada pela alegria da criação autodeterminada.
  • Algo que qualquer um com um computador pode fazer bem. Qualquer um pode pegar uma máquina fotográfica e tirar uma foto. Entretanto, nem todo mundo pode ser uma Annie Leibovitz ou um Sebastião Salgado. Todo mundo pode pegar um pincel e pintar. No entanto, nem todo mundo pode ser um Pablo Picasso ou um Cândido Portinari. De fato, todos os que possuem um computador podem criar imagens fractais, mas nem todo mundo será um mestre na criação de Arte Fractal.

Arte Fractal é:

  • Expressiva. Através das cores de um pintor, do uso da luz e da sombra de um fotógrafo, ou dos movimentos de uma dançarina, artistas aprendem a manifestar e evocar todos os tipos de idéias e expressões. Artistas Fractais são não menos capazes de usar seus meios como uma linguagem expressiva semelhante, pois são equipados com todas as ferramentas essenciais do artista visual tradicional.
  • Criativa. A imagem fractal final deve ser criada como a fotografia ou a pintura. Pode ser criada como uma obra figurativa, uma abstração da forma fractal básica, ou umaobra não-figurativa. O Artista Fractal começa com uma tela em branco e cria uma imagem servindo-se dos mesmos elementos de cor, composição, balanço, etc., usados pelo artista visual tradicional.
  • Requer input, esforço e inteligência. O Artista Fractal deve dirigir a montagem das fórmulas, das transformações, dos esquemas de cores, das paletas e dos parâmetros exigidos. Todo elemento pode e será manipulado, ajustado, alinhado e remanipulado no esforço de encontrar a combinação certa. A liberdade de manipular todas essas facetas de uma imagem fractal traz consigo a obrigação de entender seus empregos e seus efeitos. Esse entendimento requer inteligência e concentração por parte do artista.

Mais do que tudo, Arte Fractal é simplesmente o que criam os Artistas Fractais: ARTE.

Galeria

Visite nossa galeria com alguns fractais que criamos ao longo dos anos.

Links

www.fractalus.com/kerry/
Homepage de Kerry Mitchell. Galerias fractais. The Manifest of the Fractal Art.

Mandelbulber
Gera fractais em 3D. Open source.

Incendia
Excelente gerador de fractais 3D. Donationware.

Ultrafractal
Atualmente o mais poderoso gerador de fractais, com recursos de layers e máscaras. Gera imagens em high-color. Shareware.

ChaosPro
O ChaosPro aceita arquivos do Ultrafractal, Fractint e outros, com vários recursos. Alternativa ao Ultrafractal. Freeware.

Fractint
Clássico programa gerador de fractais. O mais popular entre os artistas fractais. Seu domínio é imprescindível para uma boa compreensão das técnicas e dos elementos fundamentais da arte fractal. Freeware.

Com a exceção do primeiro link, todos os outros remetem para páginas de onde é possível o download dos programas citados. Recomendamos ainda uma busca por “fractal” ou “fractals” no DuckDuckGo para acesso a milhares de links para outros programas, galerias e escritos.

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História da matemática Matemática

20 Episódios da História da Matemática

Este é o título do nosso novo livro, disponível para compra pela Amazon: https://www.amazon.com.br/dp/B08PBZHRPD

Este livro é uma compilação e reformulação das 20 últimas postagens sobre história da matemática publicadas aqui. Espero que você goste!

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História da matemática Leibniz Matemática

​O gênio de Leibniz

Trigramas do I Ching e os números binários. Fonte:
Explication de l’arithmétique binaire
.

Contemporâneo de Newton, com quem se correspondeu, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) foi uma dessas personalidades incontornáveis da história das ciências e da filosofia. Polímata de grande amplitude e profundidade, Leibniz foi outra figura central no desenvolvimento da matemática dos séculos XVII e XVIII. Mas não só dela: a lógica, a física, a biologia, a medicina, a psicologia, a linguística e a moderna computação lhe devem grandes tributos.

Como Newton, mas de maneira independente, Leibniz também desenvolveu sua versão do cálculo, tendo criado a notação mais utilizada atualmente. Seu cálculo era igualmente baseado em infinitésimos, geradores de desconcertantes contradições, mas Leibniz encarou o problema e buscou uma fundamentação clara e objetiva, dando os primeiros passos concretos para sua inclusão legítima no panteão matemático. No entanto, foi apenas na segunda metade do século XX, com a criação da análise não-standard por Abraham Robinson (1918 – 1974), que os infinitésimos foram finalmente reabilitados e puderam ser utilizados com tranquilidade pelos matemáticos — ainda que bem poucos o façam.

Leibniz era um lógico atento e profundo. Nesse terreno, fez uma contribuição fundamental: o princípio da identidade dos indiscerníveis, que afirma que duas coisas que têm o mesmo conjunto de propriedades são, na verdade, a mesma coisa. Junto com o princípio da não-contradição e o princípio da razão suficiente, esse é considerado um dos três grandes princípios da metafísica. Metodologicamente, ao transformar uma entidade na lista de propriedades que a definem, Leibniz nos deu uma lupa para a crítica social, uma vez que todas nossas ideias de universalidade passam por escolhas de propriedades comuns a classes de indivíduos, e essas escolhas não são naturais, mas ideologicamente motivadas.

Leibniz era também um gênio mecânico. Projetou e construiu a primeira calculadora capaz de realizar todas as quatro operações aritméticas, a Staffelwalze (contadora de passos):

Replica da Staffelwalze. Fonte: Wikipedia.

Leibniz acreditava, como muitos cientistas ainda hoje, que cálculos laboriosos ocupam um tempo precioso de um pesquisador e que qualquer pessoa pode fazer a mesma coisa com o auxílio de uma máquina. A Staffelwalze, porém, tinha um projeto tão delicado e sutil de engrenagens, tão além das habilidades dos artesãos da época, que apenas duas cópias foram feitas. A Leibniz, que pretendia comercializá-la, coube apenas se conformar.

Fascinado com dispositivos mecânicos e com a automação de ações repetitivas, Leibniz pretendeu levar essas ideias para outros domínios de atividade humana. Imaginava, por exemplo, que contendas e disputas judiciais poderiam ser resolvidas se as partes conseguissem codificar suas demandas em uma espécie de linguagem a ser manipulada algebricamente, como em uma máquina, produzindo a solução do impasse.

A ideia de criar uma linguagem universal que codificasse os entes do mundo e suas relações ocupou Leibniz durante sua juventude e muito de sua vida adulta. Seus esforços nessa direção passaram tanto pela filosofia quanto pela matemática, e inspiraram a criação de línguas artificiais, como o esperanto além de ter dado partida na moderna teoria da computação, que tem seu texto fundador no artigo Explication de l’arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu’elle donne le sens des anciennes figures Chinoises de Fohi (Explicação da aritmética binária, que se serve apenas dos caracteres 0 e 1, com observações sobre sua utilidade e sobre o sentido que dá às antigas figuras chinesas de Fuxi). Esse texto pode ser lido na página https://fredlopes.com.br/matematica/historia-da-matematica/

Nesse artigo, Leibniz mostra como codificar todos os números através de um sistema de numeração de base 2 que necessita apenas de dois símbolos, 0 e 1. Além disso, e porque recebeu de um amigo uma cópia do I Ching, Leibniz percebeu as ligações entre os trigramas do livro e o seu sistema, vislumbrando, assim, mais um passo na construção da sua língua universal, chamado por ele de characteristica universalis.

Vamos a um exemplo. Tome a sequência geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32… em que cada número é o dobro do número anterior. Leibniz percebeu que qualquer número inteiro pode ser escrito como a soma de alguns números dessa série. Por exemplo, 51 pode ser escrito como 32 + 16 + 2 + 1, começando do maior número para o menor. Observe que você não usou os números 8 e 4. Assim, se você fixar a série como 32, 16, 8, 4, 2, 1 e “marcar” com 1 aqueles números que foram utilizados e com 0 aqueles que não o foram, temos a sequência 1, 1, 0, 0, 1, 1, indicando que usei 32, usei 16, não usei 8, não usei 4, usei 2 e usei 1. Escrevendo sem as vírgulas, temos o número 110011, que lemos um, um, zero, zero, um, um.

O artigo vai além e indica como somar, subtrair, multiplicar e dividir esses números binários. O que Leibniz não imaginou é que esse sistema de numeração viria a ser utilizado 250 anos depois no desenvolvimento dos modernos computadores – do celular que você usa para ler este texto.

Discussão

Leibniz foi outro filósofo que se dedicou muito à matemática. Por que será que boa parte dos filósofos ocidentais foram também matemáticos ou, pelo menos, ensinaram matemática em algum momento de suas vidas? Pense também no seguinte:

  1. Você acha que as operações aritméticas devem ser ensinadas nas escolas apenas para que possamos operar computadores com segurança? Se uma máquina calcula melhor do que nós, por que precisamos aprender, por exemplo, a dividir dois números longos?
  2. O princípio dos indiscerníveis de Leibniz é um princípio lógico definitivo e universal? Você concorda com ele?
  3. Você acredita na possibilidade de criação de uma língua universal a ser utilizada na comunicação humana?
  4. A numeração binária de Leibniz foi utilizada pelo matemático inglês George Boole (1815 – 1864) na algebrização da lógica, algebrização que foi utilizada pelos pioneiros da computação digital. Você acha que esse é um exemplo de como o conhecimento desinteressado e a pesquisa básica sem pretensões utilitárias devem ser mantidos e custeados com dinheiro público?
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História da matemática Infinitésimos Matemática Newton

Newton e os infinitésimos

Pagina de rosto do livro Método das fluxões
Fonte: Wikimedia Commons

Isaac Newton (1642 – 1727), um cientista tímido e reservado, foi para o século XVIII o que Albert Einstein (1879 – 1955) foi para o século XX: um gênio que mudou o paradigma da ciência de seu tempo. Talvez ainda mais do que Einstein, Newton foi não só um criador de uma nova maneira de pensar a ciência natural, mas também um matemático original e profundo que forjou os instrumentos intelectuais do mundo moderno.

Há tanto o que falar de Newton, o último dos magos e o primeiro dos modernos, que toda escolha é uma severa ofensa a sua obra multifacetada. Todavia, limitaremos este texto a um aspecto de seu trabalho sobre uma das mais importantes ferramentas matemáticas da humanidade: o cálculo.

Foi no livro The Method of Fluxions (O método das fluxões), escrito em 1671 mas publicado postumamente em 1736, que Newton apresentou seu método das fluxões, o nome do que hoje conhecemos como derivadas. Derivadas estão no coração do chamado cálculo diferencial e integral e na raiz da revolução científica operada por Newton e seus contemporâneos. Mas por que são assim tão importantes?

Derivadas aparecem em todos os lugares. Quando medimos a velocidade em quilômetros por hora (km/h), a corrente elétrica em coulombs por segundo (C/s), a vazão em litros por segundo (l/s), estamos falando de derivadas. De maneira simplificada, Newton descobriu como, dada a equação da trajetória de um planeta, encontrar a equação de sua velocidade, e vice-versa. Newton derivou uma equação de outra, e essa foi a origem do nome derivada — nome que ele não utilizou.

Geometricamente, o problema envolve encontrar retas tangentes a curvas. O processo é simples uma vez entendido, mas criá-lo não foi nada fácil. Matemáticos, desde a antiguidade, desenvolveram métodos próprios para resolver problemas particulares, mas nenhum método geral que se aplicasse a todas as equações então conhecidas. Newton desenvolveu seu próprio método fazendo uso de um conceito controverso na história da matemática: os infinitésimos.

Tome um número positivo bem pequeno, mas que não seja zero. Suponha que esse número seja 0,01. É possível pensar um número menor? Sim, e até um dez vezes menor: 0,001. É possível pensar em um menor ainda? Sim: 0,0001, novamente dez vezes menor do que o anterior, e assim sucessivamente. Um infinitésimo é menor que todos esses números imagináveis, e ainda assim não é zero. Como isso é possível?

No conjunto dos número reais, isso não é possível. Mesmo assim, Newton fez uso dos infinitésimos bem ciente de suas contradições. Empregou-os com coragem para resolver uma série de problemas persistentes, em linha com outros matemáticos de séculos anteriores que operaram com essas aparentes aberrações lógicas sem muitos pudores. Mas, por temer críticas e controvérsias, Newton postergou indefinidamente a publicação de seus resultados.

Vamos a um exemplo bem simples. Considere a equação mais simples de uma parábola, f(x)=x2, e considere que precisamos encontrar uma reta tangente em um ponto A(x, y) qualquer, como mostra a figura a seguir:

A reta (em vermelho) tangenciando a curva f (em azul) no ponto A

Em um determinado momento do processo de encontrar a derivada, Newton introduziria o infinitésimo “o” e faria o quociente

\frac{(x + o)^2\ -\ x^2}{(x+o)-x} = \frac{2xo+o^2}{o} = 2x+o

Depois, sem mais delongas, desprezaria o número “o” e encontraria a equação derivada 2x. O problema? Introduzir no processo algo diferente de zero e depois desprezá-lo como se fosse zero.

Newton sabia bem disso, como sabiam todos os matemáticos que utilizaram infinitésimos. Tudo funcionava maravilhosamente, mas ninguém conseguiu ignorar um elefante que surgiu na sala: o método parecia corroer as bases lógicas do edifício da matemática. Nunca na história das ciências um elefante tão diminuto causou tantos problemas.

Apesar dos contratempos, o método das fluxões continha os germes da ideia moderna de limites, usada para formalizar o conceito de derivadas e expulsar as contradições que os infinitésimos criavam. Mas, para isso, um complicado formalismo teve que ser introduzido no cálculo, gerando uma sopa de letrinhas intragável que os pobres coitados dos estudantes de exatas devem digerir nos modernos — e antipedagógicos — cursos universitários de cálculo.

Discussão

  1. Newton escreveu uma quantidade impressionante de artigos sobre alquimia e teologia, muito mais do que sobre física e matemática. No entanto, apenas estes últimos tiveram influência duradoura, enquanto os livros de teologia e alquimia foram esquecidos pela história. Por que você acha que isso aconteceu?
  2. Os infinitésimos foram usados com sucesso durante séculos, antes e depois de Newton. Foram descartados pelos matemáticos do século XIX, preocupados com o rigor, e redescobertos na segunda metade do século XX. As contradições que geravam foram domadas e seu emprego foi reabilitado. Ainda assim, pouquíssimos os utilizam atualmente. Você acredita que ideias científicas têm seu tempo, e que, uma vez superadas, não é mais possível reutilizá-las?
  3. Quais são os motivos para que as disciplinas de cálculo diferencial e integral sejam as maiores reprovadoras nas universidades?

Para saber mais

  • cálculo diferencial e integral
  • teorema fundamental do cálculo
  • infinitésimo
  • limites e notação \epsilon - \delta
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Descartes Geometria Geometria analítica História da matemática

Descartes e a geometria analítica

O sistema do GPS e a técnica de triangulação
Fonte: Oficina da Net

O GPS (Global Position System – Sistema de Posicionamento Global), massivamente utilizado em aplicativos de transporte, foi uma invenção que teve início em 1957, quando a antiga União Soviética lançou o primeiro satélite da história — o Sputnik. A ideia de localizar objetos em terra a partir do espaço foi uma das motivações do projeto, mas foram os Estados Unidos que primeiro desenvolveram o sistema de localização, disponível a partir de 2000 para toda a população. O GPS faz uso, e de maneira até bem simples, de um sistema de coordenadas espaciais, provido pelo que hoje chamamos de geometria analítica.

A geometria analítica tem uma história antiga e, como todas as criações matemáticas, ela não surge completa e definitiva. Seu longo amadurecimento ocorreu nas mãos de matemáticos que precisavam localizar pontos e curvas no plano e no espaço a partir de uma referência. Esse referenciamento pode ser feito de várias maneiras, cada uma dando origem a um sistema de coordenadas. Os sistemas mais empregados hoje são o de coordenadas polares, largamente utilizado por Isaac Newton (1643 – 1727), e o de coordenadas cartesianas, assim nomeado em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596 – 1650).

Talvez a mente mais lúcida de seu tempo, Descartes exerceu uma incomum influência na história das ideias. Principalmente preocupado em encontrar um fundamento sólido para todo o conhecimento, Descartes fazia parte da longa tradição de filósofos que buscavam as ideias mais básicas, certas e universais das quais tudo o mais se derivaria. Se você entendeu o que Euclides fez com sua estruturação lógico-dedutiva do conhecimento matemático, vai compreender o que Descartes procurou fazer, não só com a matemática, mas com todo o conhecimento humano.

Filósofo de coração, Descartes foi um matemático de grande talento. Ao editar La Géométrie (A Geometria) como um apêndice do seu mais importante livro, o Discurso do Método (1637), Descartes almejou libertar a geometria do uso de diagramas através de procedimentos algébricos e prover sentido geométrico às operações algébricas, fundindo ambas em um único corpo de conhecimentos.

Curiosamente, Descartes não usou o sistema de coordenadas cartesianas (!) ou nenhum outro sistema em sua Géométrie. No entanto, fixou o uso das letras x, y e z para variáveis e a, b e c para constantes; introduziu a moderna notação exponencial, como x3, x4, etc. (mas ainda escrevia xx para o que hoje escrevemos x2); descreveu curvas em termos de suas equações e interpretou equações em termos de curvas, além de ter quebrado com o antigo princípio da homogeneidade, que escravizou a imaginação matemática a considerar x como um segmento e xx como uma área.

A “tradução” bidirecional entre geometria e álgebra operada por Descartes inspirou os matemáticos posteriores a procurar traduções entre outros campos e a criar métodos e soluções seguras para problemas que seguiam intratáveis até então. A álgebra, que opera de maneira mecânica com um conjunto pequeno e sólido de princípios e regras, garante a toda a matemática que nela se fundamenta segurança e solidez. E assim teve início, com a obra de Descartes, a mecanização moderna da matemática — em nosso benefício?

Discussão

  1. Você acredita que é possível encontrar os princípios primeiros do conhecimento humano, como Descartes pretendia? Quais princípios seriam esses?
  2. O que você pensa do uso da álgebra em problemas de geometria? Acredita que seja uma coisa natural ou é algo que nos é imposto em função de alguma necessidade?
  3. Será que toda a matemática pode ser mecanizável de maneira a ser melhor operada por computadores? É bom que assim o seja?

Para saber mais

Seria interessante que você pesquisasse mais um pouco sobre

  • coordenadas polares
  • Discurso do Método
  • cogito ergo sum