Cardano, a álgebra e a probabilidade

Fred Lopes
Página inicial da Ars Magna
Fonte: Wikimedia Commons

Se algo existe que nos faça pensar em não utilizar fontes primárias no ensino de matemática, esse algo é o livro Ars Magna, do médico, matemático, astrólogo e jogador inveterado italiano Girolamo Cardano (1501 – 1576), um livro moroso e entediante em franco contraste com a vida de seu autor.

Cardano nasceu em 1501 em Pavia, na Itália, e formou-se em medicina em 1525 na Universidade de Pádua. Exerceu a profissão de médico em cidades pequenas até se mudar para Milão, onde obteve licença para ensinar matemática, paixão intelectual que perseguiu até seus últimos dias. Embora tenha escrito cerca de 200 obras sobre medicina, biologia, física, química, astronomia, mecânica, filosofia e até astrologia, foi na matemática que se mostrou mais proficiente e mais fecundo.

Sua obra mais conhecida é a Artis magnae, sive de regulis algebraicis (Da grande arte, ou sobre as regras da álgebra), a que nos referimos simplesmente como Ars Magna. Nela encontramos a primeira publicação de soluções puramente algébricas de equações cúbicas e quárticas, equações polinomiais de graus 3 e 4, respectivamente. Cardano, no entanto, não foi seu descobridor: ele atribui a Scipione del Ferro (1465 – 1526) a solução da cúbica e a seu aluno Ludovico Ferrari (1522 – 1565) a da quártica.

É preciso parar e observar que esse foi um momento muito importante na história da matemática. A solução de equações polinomiais de qualquer grau é uma busca milenar que começou na antiguidade, tendo ocupado gerações e gerações de matemáticos amadores e profissionais. Com Cardano, as equações de graus 1, 2, 3 e 4 foram definitivamente solucionadas. Foi o passo seguinte, a busca da solução da equação de quinto grau, a quíntica, que ocasionou a criação da moderna álgebra abstrata. Niels Abel (1802 – 1829) e Evariste Galois (1811 – 1832) foram os responsáveis por demonstrar, independentemente, que a quíntica só possui soluções para casos particulares, ficando o caso geral ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 sem uma fórmula que o resolva.

Outro fato interessante da história da matemática do período é saber que os números negativos, hoje tão comuns, ainda não eram bem aceitos àquela época. Historicamente ligado às ideias de quantidade e de magnitude, o conceito de número não admitia algo “menor do que o nada”, engano comum entre os estudantes de matemática ainda hoje. Essa proibição cognitiva obrigou Cardano, assim como todos os matemáticos da época, a tratar equações do tipo x^3+ax=b de maneira diferente de equações do tipo x^3=ax+b, o que hoje resolvemos com o mesmo método. No entanto, ele de fato operou formalmente com números negativos e, de maneira desconcertante, também com com números complexos, aqueles que envolviam raízes de números negativos.

Na Ars Magna, Cardano apresenta o seguinte problema: encontre dois números tais que sua soma seja 10 e seu produto seja 40. As respostas são 5+\sqrt{-15} e 5-\sqrt{-15}, que Cardano chamou de “sofísticas”, pois não viu nelas nenhum significado físico. Mesmo assim, Cardano foi adiante, realizou as contas, corajosamente, e viu que as soluções satisfaziam as condições do problema. Apesar do sucesso, declarou que essas respostas seriam tão sutis quanto inúteis. Esta foi a primeira aparição de números complexos em uma obra impressa.

Cardano era um jogador contumaz e um enxadrista talentoso, o que lhe rendeu um bom dinheiro durante sua vida, o suficiente para saldar as múltiplas dívidas que sistematicamente contraía. Como não poderia deixar de ser, escreveu também sobre jogos no Liber de ludo aleae (Livro dos jogos de azar), que contém o primeiro tratamento sistemático da probabilidade, outro grande debate da época. Mas o que torna esse livro impertinentemente delicioso são as muitas técnicas para trapacear em diversos jogos, um brinde de Cardano à vida de apostador que ele adorava viver.

Discussão

  1. Além de cientista, Cardano era também astrólogo, tendo feito inúmeros mapas astrais para os poderosos da época. Sabemos hoje que a astrologia é uma pseudociência sem a mínima chance de voltar a ter o respeito que teve antigamente. Mas ainda é extremamente popular. O que vc pensa disso?
  2. Você consegue imaginar um argumento que justifique tanta energia empregada, durante tanto tempo, para resolver equações polinomiais?
  3. Se um número não é a medida de uma quantidade, então o que ele é?

Para saber mais

  • resolução da cúbica por radicais
  • resolução da quíntica
  • álgebra abstrata
  • números complexos
  • probabilidade

Fibonacci e seu Liber Abaci

Fred Lopes
Página do Liber Abaci com o famoso problema dos coelhos
Fonte: Wikimedia Commons

Leonardo de Pisa (c. 1170 – c. 1240/1250) é o mais interessante matemático do século XIII. Nascido em Pisa, na Itália, mudou-se ainda jovem com o pai, Guglielmo dei Bonacci, para a cidade de Bugia, na Argélia, onde passou parte de sua vida. Matemático e escritor, é autor do influente Liber Abaci (Livro do Ábaco), obra que termos a oportunidade de conhecer a seguir.

Ter morado na Argélia, no norte da África, não é um detalhe na vida de Fibonacci. Pelo contrário, é sua parte mais importante: foi no milenar porto de Bugia, onde eram embarcadas as mercadorias vindas do Oriente em direção à Europa, que Leonardo, posteriormente apelidado Fibonacci (de filho de Bonacci), deu início a seus estudos da matemática ágil usada pelos árabes em suas transações comerciais.

Compelido por sua prática de comerciante, Fibonacci foi estudar em Constantinopla, onde aprendeu principalmente nos livros de Al-Khwarimi e de muitos outros matemáticos árabes. Tomou contato com os algarismos indo-arábicos e com as técnicas de cálculo facilitadas por eles. Lembremo-nos de que na Europa, naquela época, as operações aritméticas que hoje realizamos com facilidade eram laboriosamente feitas com ábacos e algarismos romanos. Toda essa tradição de cálculo seria rapidamente esquecida com a introdução das novas técnicas que Fibonacci levaria em seu mais conhecido livro.

No Liber Abaci (pronunciamos líber ábaki), Fibonacci introduz o modo dos hindus, a maneira como o indianos realizavam operações. No início de seu livro, escreve:

Estas são as nove figuras dos Indianos:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Com estas nove figuras, e com o sinal 0, que em árabe é chamado de zéfiro, qualquer número pode ser escrito.

Mas os números ainda não tinham esse formato. Basta uma olhadela na página que ostenta o famoso problema dos coelhos, no início deste texto, para constatarmos que os formato de nossos algarismos ainda sofreriam algumas mutações. E, em verdade, não foi a primeira vez que apareceram na Europa: o matemático Gerbert d’Aurillac (c. 950 – 1003), que se tornaria o papa Silvestre II, já os conhecia e com eles operava, cerca de duzentos anos antes.

Levaria ainda algum tempo para que o Liber Abaci exercesse alguma influência nas práticas de cálculo de seu tempo. Fibonacci escreveria outros livros, como o Practica Geometriae (Prática de Geometria), o Flos (Flor) e o Liber Quadratorum (Livro dos Quadrados), mas apenas o Liber Abaci seria destinado tanto a acadêmicos quanto a comerciantes.

É nesse livro que surge o famoso problema dos coelhos, que dá origem à sequência de Fibonacci, objeto de admiração e estudo por amadores e matemáticos profissionais, dada sua aparente onipresença em muitas áreas da matemática pura e aplicada, assim como na física, na química, na biologia, nas engenharias e até nas artes. E o problema é o seguinte:

Quantos pares de coelhos são gerados a partir de um par em um ano?
Alguém põe um par de coelhos em um certo lugar totalmente cercado por um muro para saber quantos pares de coelhos são gerados a partir desse par inicial em um ano. A natureza desses coelhos é tal que a cada mês um par de coelhos produz outro par, e coelhos começam a gerar coelhos a partir do segundo mês após seu nascimento.

Sua solução dá origem à sequência

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377…

à qual foi acrescentada os números 0 e 1, passando a ser escrita como

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377…

Essa sequência é formada recursivamente: a soma de dois números sucessivos forma o terceiro. Por exemplo: 0 + 1 = 1 \\ 1 + 1 = 2 \\ 1 + 2 = 3 \\ 2 + 3 = 5 \\ 3 + 5 = 8 e assim sucessivamente. Observe que a sequência apresenta um padrão do tipo par-ímpar-ímpar: 0, 1, 1, depois 2, 3, 5 e assim por diante. Observe também que se você pegar o número seguinte e dividir pelo número anterior, você formará uma sequência que se aproximará do número 1,618…:

8/5 = 1,6…\\13/8 = 1,625…\\21/13 = 1,615…\\34/21 = 1,619…\\55/34 = 1,617…\\89/55 = 1,618…

e assim por diante, convergindo para aquele que é visto como um dos mais notáveis números da matemática, a constante \phi = 1,61803398875\dots (pronunciamos fi).

Essa constante surge no antigo problema de se dividir um segmento em média e extrema razão, que significa encontrar um ponto em um segmento que o divida em duas partes, uma maior e uma menor, de tal maneira que a razão (divisão) do segmento todo pelo segmento maior é a mesma razão (divisão) do segmento maior pelo segmento menor. Essa é a chamada razão áurea.

Embora pareça abstrata, a razão áurea é usada por alguns artistas para dar um certo balanço em suas obras, sejam elas literatura, música ou artes visuais. Há quem diga que ela aparece nas proporções de tudo o que é belo e equilibrado, tanto na natureza quanto nas obras humanas, afirmação que beira mais a superstição do que a evidência científica. No entanto, é verdade que \phi aparece aqui e ali em belíssimos teoremas da geometria e da teoria dos números. Mas única evidência que temos, depois de pesquisarmos com calma o assunto, é que basta um empurrãozinho em mentes menos críticas para provocar uma avalanche de crendices populares.

O Liber Abaci também lida com medidas, moedas, cálculo de lucro e de juros, números perfeitos, números primos e compostos, números irracionais, extração de raízes e algumas demonstrações de geometria. É um livro de interesse tanto prático quanto teórico, o que garantiu sua sobrevivência e utilidade pelos séculos seguintes. E, como muitos outros livros interessantes da história, não conhece sequer cheiro de tradução para o português…

Discussão

  1. Como você acha que Fibonacci resolveu o problema dos coelhos?
  2. O ábaco é um instrumento que assume muitas formas em diferentes países. É bastante utilizado na educação básica com muito bons resultados. Aprenda a operar um deles, o soroban (ábaco japonês), e teste seus conhecimentos fazendo 437 + 585.
  3. A sequência de Fibonacci é tão admirável que um exército de amadores e profissionais passaram a vê-la em muitos lugares. Um desses é na natureza: na inflorescência do girassol, nas proporções dos animais e até nos braços da galáxia. Toda a natureza se estruturaria segundo “padrões de Fibonacci”: a matemática está mesmo em tudo ou somos nós que queremos vê-la assim, onipresente?

Para saber mais

O que você consegue dizer sobre:

  • Constantinopla
  • matemática e capitalismo
  • sequência recursiva
  • razão áurea

Omar Khayyam, a poesia e a matemática

Fred Lopes
Página de um tratado sobre equações cúbicas e interseção de cônicas, de Omar Khayyam
Fonte: Wikimedia Commons

Aos céus enviei minha alma
Em busca do segredo eterno…
Na volta, me diz, já bem calma:
‘Eu mesma sou Céu e Inferno’

Do Rubaiyat

Omar Khayyam nasceu em maio de 1048 na rica e próspera Nixapur, no nordeste do Irã, tendo ali vivido e morrido, em dezembro de 1131, após uma vida de grandes realizações.

Khayyam é uma das personalidades iranianas mais conhecidas em todo o mundo. Não pelos seus feitos científicos, mas por sua obra poética mais conhecida: o Rubaiyat, uma coleção de quadras que versam sobre a alegria e o sentido de viver. A que abre este texto é uma transcriação que fiz a partir da tradução de E. Fitzgerald, a mais utilizada em língua inglesa. Existem várias traduções em português, partindo de versões inglesas ou francesas, mas nenhuma direta do persa. Alguém aí se habilita?

Embora famoso por sua obra poética, Khayyam não fica atrás em seus feitos científicos. A página mostrada acima faz parte de um tratado sobre a resolução de equações cúbicas através da interseção de cônicas. Embora o material fosse já conhecido, Khayyam generalizou os métodos e os aplicou com bastante sucesso, fazendo avançar as técnicas de solução de equações polinomiais.

Khayyam conhecia uma fórmula para calcular os coeficientes da expansão de (a+b)^n. Por exemplo, os coeficientes de (a+b)^5 = a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+ b^5 são 1, 5, 10, 10, 5 e 1, e Khayyam sabia como calcular cada um deles sem realizar a expansão de (a+b)^5. Para os mais astutos, esses coeficientes fazem a sexta linha do famoso triângulo de Pascal, conhecido por árabes, indianos e chineses séculos antes do filósofo e matemático Blaise Pascal (1623 – 1662) ter nascido. Se você acha que há muito nome europeu indevidamente na matemática, saiba que não está só!

Outra área em que Khayyam se destacou foi na geometria, principalmente pelo seu livro Sharh ma ashkala min musadarat kitab Uqlidis (Comentários sobre as Dificuldades nos Postulados no Livro de Euclides). Nessa obra, Khayyam discute o famoso quinto postulado de Euclides e tropeça nas geometrias não-euclidianas, um ramo da matemática que iria florescer somente sete séculos depois.

Discussão

  1. Os contatos comerciais por toda a Ásia sempre foram fortes e intensos, levando ao desenvolvimento cultural e científico de muitas regiões. Você acha que povos asiáticos possuíam uma ciência mais avançada do que a ciência ocidental à época de Khayyam?
  2. Hoje chamamos astrônomos, geômetras e algebristas da antiguidade de matemáticos, embora eles mesmos não usassem esse termo. Você acha que é correto ou não chamá-los assim?
  3. Por que você acha que o tema dos postulados de Euclides foi tão discutido durante a história da matemática?

Para saber mais

  • Rubaiyat
  • cônicas
  • equações polinomiais
  • coeficientes binomiais
  • postulado das paralelas

Al-Khwarizmi e a álgebra

Fred Lopes
Página da Álgebra, de Al-Khwarizmi (c. 780 – c. 850)
Fonte: Wikimedia Commons

Apenas um matemático em toda a história foi capaz de emprestar seu nome a dois importantes conceitos e ter o título de seu principal livro como o nome de toda uma ciência: Abū Jaʿfar Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780 – c. 850). De seu nome, também escrito em português como Alcuarismi, temos as palavras algarismo e algoritmo, e de seu mais importante tratado matemático, o Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (c. 823), temos o nome álgebra. Mas quem foi esse matemático e do que tratava seu livro?

Al-Khwarizmi nasceu por volta de 780 na região de Khwarizm, no atual Uzbequistão. Seu nome é Abu Jafar Muḥammad ibn Musa, e Al-Khwarizmi, apenas o seu gentílico, o nome que indica o local de seu nascimento. Sabemos assim que Al-Khwarizmi era de ascendência persa nascido em uma região sob o domínio árabe.

Pouco mais do que fatos esparsos sabemos de sua vida. Do que temos certeza é que Al-Khwarizmi foi astrônomo e diretor da Bayt al-Hikmah, a Casa da Sabedoria, uma biblioteca e um centro de tradução fundada pelo lendário califa Harun al-Rashid (763/766 – 809) na brilhante Bagdá, capital do Iraque, uma cidade absolutamente central na história das ciências e na preservação da antiga ciência grega, cidade hoje barbarizada e saqueada pelos Estados Unidos e seus aliados nas guerras pelo petróleo.

Em Bagdá, Al-Khwarizmi escreveu sobre astronomia, geografia e cartografia, mas principalmente sobre matemática. Seu livro Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Livro Compêndio sobre Cálculo por Restauração e Balanceamento) foi responsável por estabelecer a álgebra como uma disciplina independente a ser estudada com seus próprios princípios e regras. Ao reduzirmos seu título para Al-Kitāb al-jabr wa-l-muqābala (Livro da Restauração e do Balanceamento) conseguimos ver na palavra central (al-jabr) a origem da nossa palavra álgebra.

Mas o que significam restauração e balanceamento? Em termos modernos, simplesmente as operações usuais de agrupar e transpor os termos nos dois lados de uma equação. Com essas operações, hoje cansativamente conhecidas, Al-Khwarizmi desenvolveu métodos sistemáticos para encontrarmos as raízes de equações lineares e quadráticas. Apresentou também, de forma notável, o método do completamento de quadrados, que nos possibilita resolver equações quadráticas (modernamente chamadas de equações de segundo grau) sem a necessidade de utilizarmos a famigerada fórmula de Bhaskara.

Al-Khwarizmi conhecia bem os algarismos indo-arábicos, tendo até escrito um livro sobre eles. Mas, curiosamente, ele não os utilizou, assim como nenhum outro símbolo, em sua Álgebra, onde até os números eram escritos por extenso. Aparentemente, foi um retrocesso em relação à notação de Diofanto, mas é o conteúdo do livro que nos mostra que ocorreram avanços. O que nos faz pensar sobre a (des)importância dos símbolos no pensamento matemático.

Discussão

  1. Os árabes criaram a Casa da Sabedoria para preservar e traduzir obras científicas e filosóficas de todos os cantos do mundo. Muitas das principais obras da ciência grega existem hoje somente em língua árabe. Mas por que criar um lugar assim?
  2. Observe esse problema que aparece na Álgebra de Al-Khwarizmi: “Você divide dez em duas partes: multiplique uma por si mesma. Essa será igual à outra multiplicada oitenta e uma vezes.” Você é capaz de dizer quais partes são essas?
  3. Al-Khwarizmi não precisou de símbolos especiais para fazer matemática. Será que a matemática precisa mesmo de símbolos diferentes das palavras da linguagem natural?

Para saber mais

  • Casa da Sabedoria
  • raízes de uma equação polinomial
  • equações lineares
  • equações quadráticas
  • completamento de quadrados

Alcuíno e suas Propositiones

Fred Lopes
Carlos Magno (742 – 814) e Alcuíno (735 – 804), em pintura de 1830.
Fonte: BBC

Não é a primeira vez que escrevo sobre uma personalidade que ainda me enche de admiração e respeito. Alcuíno de York (735 – 804), o “Ministro da Educação e da Cultura”, por assim dizer, do imperador Carlos Magno (742 – 814), foi uma figura central na reorganização dos conhecimentos medievais, uma mescla de conhecimentos da Antiguidade com as contribuições cristãs, preparando terreno para as futuras universidades europeias, em uma época quando já existiam universidades muçulmanas no norte da África.

Alcuíno não foi uma figura de destaque na história da matemática. Olhá-lo dessa maneira é diminuir sua importância como o grande reformador que foi. Monge formado em York, na Grã-Bretanha, Alcuíno foi convidado pelo imperador dos francos, Carlos Magno, para reformar as escolas do império, dando origem a um período chamado de Renascimento Carolíngio. Alcuíno também teve uma influência decisiva em várias decisões políticas de Carlos Magno, a quem aconselhava com frequência.

Alcuíno era visto como um excelente professor. Sua grande contribuição foi retomar a estruturação dos conhecimentos da época segundo o modelo clássico, dividido em dois grandes ramos, o trívio, composto de gramática, lógica e retórica, e o quadrívio, que englobava aritmética, geometria, astronomia e música. Conjuntamente, esses conhecimentos eram conhecidos desde a antiguidade como as sete artes liberais, e continham a divisão que vemos até hoje entre ciências humanas e exatas.

Na história da matemática, Alcuíno é conhecido por ter sido o compilador e editor das famosas Propositiones ad Acuendos Juvenes (Proposições para aguçar o espírito da juventude), um conjunto de 53 problemas de matemática elementar que tratam de aritmética, álgebra, geometria, lógica e até algumas “pegadinhas” para divertir o leitor. Você pode ler na íntegra o texto das Propositiones aqui neste site, em tradução inédita e direta do latim medieval. E como sempre é melhor por a mão na massa do que simplesmente vê-la fermentar, eis aqui cinco dos melhores problemas das Propositiones, para nossa mui grande alegria:

Uma lesma foi convidada por uma sanguessuga para um jantar a uma légua de distância. Mas ela não pôde andar mais do que uma só polegada por dia. Diga, quem queira, quantos dias a lesma andou para esse jantar.

Proposição 1

Um homem devia levar para o outro lado do rio um lobo, uma cabra e um molho de couve, mas não pôde outro barco encontrar senão um que podia levar apenas dois deles. E lhe foi dito que chegassem ilesas do outro lado todas essas coisas. Diga, quem pode, como ele pôde transferi-los ilesos para o outro lado.

Proposição 18

Um pai de família construiu um chiqueiro quadrangular novo, no qual pôs uma porca, que pariu 7 porquinhas no meio do chiqueiro, que juntamente com a mãe, que era a oitava, pariram cada uma 7 em cada ângulo. E ela novamente com todos os gerados pariu 7 no meio do chiqueiro. Diga, que deseja, quantos porcos havia junto com a mãe.

Proposição 41

Há uma escada que tem 100 degraus. No primeiro degrau pousava uma pomba, no segundo duas, no terceiro 3, no quarto 4, no quinto 5. E assim em todos os degraus até o centésimo. Diga, quem pode, quantas pombas havia no total.

Proposição 42

Um homem tinha 300 porcos e ordenou que todos os porcos deveriam ser mortos em números ímpares em 3 dias. O mesmo também se fossem 30. Diga então, quem pode, quantos porcos em número ímpar de 300 ou de 30 devem ser mortos em 3 dias.

Proposição 43

Discussão

  1. A primeira proposição, como vemos, é totalmente irrealista, como muitas outras. No entanto, é uma história que diverte, principalmente quando nos surpreendemos com a resposta. Isso sempre nos leva a questionar se não seria melhor ensinar através de histórias interessantes e divertidas do que com exemplos concretos e “contextualizados”. O que você acha disso? (A propósito: uma légua tem 90.000 polegadas, e cada polegada mede 2,54 cm.)
  2. Existe uma história sobre o matemático alemão Carl F. Gauss (1777 – 1855) que conta que ele resolveu, com a tenra idade de 10 anos, o problema de somar todos os números de 1 a 100 em apenas alguns segundos. O problema em questão é equivalente à proposição 42 acima, que Gauss o resolveu com o mesmíssimo método de Alcuíno. Será que Gauss conhecia as Propositiones? Ou será que a “descoberta” de Gauss não era assim tão genial, sendo contada como mais uma daquelas muitas anedotas e lendas criadas para transformar matemáticos demasiadamente humanos em semideuses do pensamento?
  3. Que solução você encontrou para a proposição 43? O que Alcuíno disse sobre isso?

Para saber mais

  • as sete artes liberais
  • trívio e quadrívio
  • matemática medieval